Графическое изображение полей, можно составить не только с линиями напряженности, но и с помощью разности потенциалов. Если объединить в электрическом поле точки с равными потенциалами, то мы получим поверхности равного потенциала или как еще их называют эквипотенциальные поверхности. В пересечении с плоскостью чертежа эквипотенциальные поверхности дают эквипотенциальные линии. Изображая эквипотенциальные линии, которые соответствуют различным значениям потенциала, мы получаем наглядную картину, которая отражает, как изменяется потенциал конкретного поля. Перемещение вдоль эквипотенциальной поверхности заряда работы не требует, так как все точки поля по такой поверхности имеют равный потенциал и сила, которая действует на заряд, всегда перпендикулярна перемещению.
Следовательно, линии напряженности всегда перпендикулярны поверхностям с равными потенциалами.
Наиболее наглядная картина поля будет представлена, если изображать эквипотенциальные линии с равными изменениями потенциала, например в 10 В, 20В, 30 В и т.д. В таком случае скорость изменения потенциала будет обратно пропорциональна расстоянию между соседними эквипотенциальными линиями. То есть густота эквипотенциальных линий пропорциональна напряженности поля (чем выше напряженность поля, тем теснее изображаются линии). Зная эквипотенциальные линии, можно построить линии напряженности рассматриваемого поля и наоборот.
Следовательно, изображения полей с помощью эквипотенциальных линий и линий напряженности равнозначны.
Нумерация эквипотенциальных линий на чертеже
Довольно часто эквипотенциальные линии на чертеже нумеруют. Для того, чтобы указать разность потенциалов на чертеже, произвольную линию обозначают цифрой 0, возле всех остальных линий расставляют цифры 1,2,3 и т.д. Эти цифры указывают разность потенциалов в вольтах избранной эквипотенциальной линии и линии, которую выбрали нулевой. При этом отмечаем, что выбор нулевой линии не важен, так как физический смысл имеет только разность потенциалов для двух поверхностей, и она не зависит от выбора нуля.
Поле точечного заряда с положительным зарядом
Рассмотрим как пример поле точечного заряда, который имеет положительный заряд. Линиями поля точечного заряда являются радиальные прямые, следовательно, эквипотенциальные поверхности - это система концентрических сфер. Линии поля перпендикуляры поверхностям сфер в каждой точке поля. Эквипотенциальными линиями же служат концентрические окружности. Для положительного заряда рисунок 1 представляет эквипотенциальные линии. Для отрицательного заряда рисунок 2 представляет эквипотенциальные линии.
Что очевидно из формулы, которая определяет потенциал поля точечного заряда при нормировке потенциала на бесконечность ($\varphi \left(\infty \right)=0$):
\[\varphi =\frac{1}{4\pi \varepsilon {\varepsilon }_0}\frac{q}{r}\left(1\right).\]
Система параллельных плоскостей, которые находятся на равных расстояниях друг от друга, является эквипотенциальными поверхностями однородного электрического поля.
Пример 1
Задание: Потенциал поля, создаваемый системой зарядов, имеет вид:
\[\varphi =a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,\]
где $a,b$ -- постоянные больше нуля. Какова форма имеют эквипотенциальных поверхностей?
Эквипотенциальные поверхности, как мы знаем, -- это поверхности, в которых в любых точках потенциалы равны. Зная вышесказанное, изучим уравнение, которое предложено в условиях задачи. Разделим правую и левую части уравнения $=a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,$ на $\varphi $, получим:
\[{\frac{a}{\varphi }x}^2+{\frac{a}{\varphi }y}^2+\frac{b}{\varphi }z^2=1\ \left(1.1\right).\]
Запишем уравнение (1.1) в каноническом виде:
\[\frac{x^2}{{\left(\sqrt{\frac{\varphi }{a}}\right)}^2}+\frac{y^2}{{\left(\sqrt{\frac{\varphi }{a}}\right)}^2}+\frac{z^2}{{\left(\sqrt{\frac{\varphi }{b}}\right)}^2}=1\ (1.2)\]
Из уравнения $(1.2)\ $ видно, что заданной фигурой является эллипсоид вращения. Его полуоси
\[\sqrt{\frac{\varphi }{a}},\ \sqrt{\frac{\varphi}{a}},\ \sqrt{\frac{\varphi}{b}}.\]
Ответ: Эквипотенциальная поверхность заданного поля -- эллипсоид вращения с полуосями ($\sqrt{\frac{\varphi }{a}},\ \sqrt{\frac{\varphi }{a}},\ \sqrt{\frac{\varphi }{b}}$).
Пример 2
Задание: Потенциал поля, имеет вид:
\[\varphi =a\left(x^2+y^2\right)-bz^2,\]
где $a,b$ -- $const$ больше нуля. Что представляют собой эквипотенциальные поверхности?
Рассмотрим случай при $\varphi >0$. Приведем уравнение, заданное в условиях задачи к каноническому виду, для этого разделим обе части уравнения на $\varphi ,$ получим:
\[\frac{a}{\varphi }x^2+{\frac{a}{\varphi }y}^2-\frac{b}{\varphi }z^2=1\ \left(2.1\right).\]
\[\frac{x^2}{\frac{\varphi }{a}}+\frac{y^2}{\frac{\varphi }{a}}-\frac{z^2}{\frac{\varphi }{b}}=1\ \left(2.2\right).\]
В (2.2) мы получили каноническое уравнение однополостного гиперболоида. Его полуоси равны ($\sqrt{\frac{\varphi }{a}}\left(действительная\ полуось\right),\ \sqrt{\frac{\varphi }{a}}\left(действительная\ полуось\right),\ \sqrt{\frac{\varphi }{b}}(мнимая\ полуось)$).
Рассмотрим случай, когда $\varphi
Представим $\varphi =-\left|\varphi \right|$ Приведем уравнение, заданное в условиях задачи к каноническому виду, для этого разделим обе части уравнения на минус модуль $\varphi ,$ получим:
\[-\frac{a}{\left|\varphi \right|}x^2-{\frac{a}{\left|\varphi \right|}y}^2+\frac{b}{\left|\varphi \right|}z^2=1\ \left(2.3\right).\]
Перепишем уравнение (1.1) в виде:
\[-\frac{x^2}{\frac{\left|\varphi \right|}{a}}-\frac{y^2}{\frac{\left|\varphi \right|}{a}}+\frac{z^2}{\frac{\left|\varphi \right|}{b}}=1\ \left(2.4\right).\]
Мы получили каноническое уравнение двуполостного гиперболоида, его полуоси:
($\sqrt{\frac{\left|\varphi \right|}{a}}\left(мнимая\ полуось\right),\ \sqrt{\frac{\left|\varphi \right|}{a}}\left(мнимая\ полуось\right),\ \sqrt{\frac{\left|\varphi \right|}{b}}(\ действительная\ полуось)$).
Рассмотрим случай, когда $\varphi =0.$ Тогда уравнение поля имеет вид:
Перепишем уравнение (2.5) в виде:
\[\frac{x^2}{{\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2}+\frac{y^2}{{\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2}-\frac{z^2}{{\left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)}^2}=0\left(2.6\right).\]
Мы получили каноническое уравнение прямого круглого конуса, который опирается на эллипс с полуосями $(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$;$\ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$).
Ответ: В качестве эквипотенциальных поверхностей для заданного уравнения потенциала мы получили: при $\varphi >0$ -- однополостной гиперболоид, при $\varphi
> Эквипотенциальные линии
Характеристика и свойства линий эквипотенциальной поверхности : состояние электрического потенциала поля, статическое равновесие, формула точечного заряда.
Эквипотенциальные линии поля – одномерные области, где электрический потенциал остается неизменным.
Задача обучения
- Охарактеризовать форму эквипотенциальных линий для нескольких конфигураций заряда.
Основные пункты
- Для конкретного изолированного точечного заряда потенциал основывается на радиальной дистанции. Поэтому эквипотенциальные линии выступают круглыми.
- Если контактирует несколько дискретных зарядов, то их поля пересекаются и демонстрируют потенциал. В итоге, эквипотенциальные линии перекашиваются.
- Когда заряды распределяются по двум проводящим пластинам в статическом балансе, эквипотенциальные линии практически прямые.
Термины
- Эквипотенциальный – участок, где каждая точка обладает единым потенциалом.
- Статическое равновесие – физическое состояние, где все компоненты пребывают в покое, а чистая сила приравнивается к нулю.
Эквипотенциальные линии отображают одномерные участки, где электрический потенциал остается неизменным. То есть, для такого заряда (где бы он ни находился на эквипотенциальной линии) не нужно осуществлять работу, чтобы сдвинуться с одной точки на другую в пределах конкретной линии.
Линии эквипотенциальной поверхности бывают прямыми, изогнутыми или неправильными. Все это основывается на распределении зарядов. Они располагаются радиально вокруг заряженного тела, поэтому остаются перпендикулярными к линиям электрического поля.
Одиночный точечный заряд
Для одиночного точечного заряда формула потенциала:
Здесь наблюдается радиальная зависимость, то есть, независимо от дистанции к точечному заряду потенциал остается неизменным. Поэтому эквипотенциальные линии принимают круглую форму с точечным зарядом в центре.
Изолированный точечный заряд с линиями электрического поля (синий) и эквипотенциальными (зеленый)
Множественные заряды
Если контактирует несколько дискретных зарядов, то мы видим, как перекрываются их поля. Это перекрытие заставляет потенциал объединяться, а эквипотенциальные линии перекашиваться.
Если присутствует несколько зарядов, то эквипотенциальные линии формируются нерегулярно. В точке между зарядами контрольный способен ощущать эффекты от обоих зарядов
Непрерывный заряд
Если заряды расположены на двух проводящих пластинах в условиях статического баланса, где заряды не прерываются и находятся на прямой, то и эквипотенциальные линии выпрямляются. Дело в том, что непрерывность зарядов вызывает непрерывные действия в любой точке.
Если заряды вытягиваются в линию и лишены прерывания, то эквипотенциальные линии идут прямо перед ними. В качестве исключения можно вспомнить только изгиб возле краев проводящих пластин
Непрерывность нарушается ближе к концам пластин, из-за чего на этих участках создается кривизна – краевой эффект.
Электростатическое поле можно охарактеризовать совокупностью силовых и эквипотенциальных линий.
Силовая линия – это мысленно проведенная в поле линия, начинающаяся на положительно заряженном теле и заканчивающаяся на отрицательно заряженном теле, проведенная таким образом, что касательная к ней в любой точке поля дает направление напряженности в этой точке.
Силовые линии замыкаются на положительных и отрицательных зарядах и не могут замыкаться сами на себя.
Под эквипотенциальной поверхностью понимают совокупность точек поля, имеющих один и тот же потенциал ().
Если рассечь электростатическое поле секущей плоскостью, то в сечении будут видны следы пересечения плоскости с эквипотенциальными поверхностями. Эти следы называют эквипотенциальными линиями.
Эквипотенциальные линии являются замкнутыми сами на себя.
Силовые линии и эквипотенциальные линии пересекаются под прямым углом.
Р
ассмотрим
эквипотенциальную поверхность:
(так
как точки лежат на эквипотенциальной
поверхности).
–
скалярное
произведение
Линии
напряженности электростатического
поля пронизывают эквипотенциальную
поверхность под углом 90 0 ,
тогда угол между векторами
равен
90 градусам, а их скалярное произведение
равно 0.
Уравнение эквипотенциальной линии
Рассмотрим силовую линию:
Н
апряженность
электростатического поля направлена
по касательной к силовой линии (см.
определение силовой линии), также
направлен и элемент пути
,
поэтому угол между этими двумя векторами
равен нулю.
или 
Уравнение силовой линии
Градиент потенциала
Градиент потенциала – это скорость возрастания потенциала в направлении кротчайшем между двумя точками.
Между двумя точками имеется некоторая разность потенциалов. Если эту разность разделить на кратчайшее расстояние между взятыми точками, то полученное значение будет характеризовать скорость изменения потенциала в направлении кратчайшего расстояния между точками.
Градиент потенциала показывает направление наибольшего возрастания потенциала, численно равен модулю напряженности и отрицательно направлен по отношению к нему.
В определении градиента существенны два положения:
Направление, в котором берутся две близлежащие точки, должно быть таким, чтобы скорость изменения была максимальной.
Направление таково, что скалярная функция в этом направлении возрастает.
Для декартовой системы координат:
Скорость изменения потенциала в направлении оси Х, Y, Z:
; 
;
Два вектора равны только тогда, когда равны друг другу их проекции. Проекция вектора напряженности на ось Х равна проекции скорости изменения потенциала вдоль оси Х , взятой с обратным знаком. Аналогично для осей Y и Z .
; 
;
.
В цилиндрической системе координат выражение градиента потенциала будет иметь следующий вид.
Для наглядного представления векторных полей используют картину
силовых линий. Силовая линия есть воображаемая математическая
кривая в пространстве, направление касательной к которой в каждой
точке, через которую она проходит, совпадает с направлением вектора
поля в той же точке
(рис. 1.17).
Рис. 1.17
:
Условие параллельности вектора
E → и
касательной можно записать в виде равенства нулю векторного произведения
E → и элемента
дуги d r →
силовой линии:
Эквипотенциалью называют поверхность, на которой постоянна величина электрического потенциала ϕ . В поле точечного заряда, как показано на рис. , эквипотенциальными являются сферические поверхности с центров в месте расположения заряда; это видно из уравнения ϕ = q ∕ r = const .
Анализируя геометрию электрических силовых линий и эквипотенциальных поверхностей, можно указать ряд общих свойств геометрии электростатического поля.
Во-первых, силовые линии начинаются на зарядах. Они либо уходят на бесконечность, либо заканчиваются на других зарядах, как на рис. .
|
|
Во-вторых, в потенциальном поле силовые линии не могут быть замкнуты. В противном случае можно было бы указать такой замкнутый контур, что работа электрического поля при перемещении заряда по этому контуру не равна нулю.
В-третьих, силовые линии пересекают любую эквипотенциаль по
нормали к ней. Действительно, электрическое поле всюду направлено в
сторону скорейшего уменьшения потенциала, а на эквипотенциальной
поверхности потенциал постоянен по определению (рис. ).
Рис. 1.20
:
И наконец, силовые линии нигде не пересекаются за исключением точек,
где E → = 0 .
Пересечение силовых линий означает, что поле в точке
пересечения есть неоднозначная функция координат, а вектор
E → не
имеет определенного направления. Единственным вектором, который
обладает таким свойством, является нулевой вектор. Структура
электрического поля вблизи точки нуля будет проанализирована в задачах
к ??
.
Метод силовых линий, конечно, применим для графического представления любых векторных полей. Так, в главе ?? мы встретим понятие магнитных силовых линий. Однако геометрия магнитного поля совершенно отлична от геометрии электрического поля.
Рис. 1.21
:
Представление о силовых линиях тесно связано с понятием силовой
трубки. Возьмем какой-либо произвольный замкнутый контур
L и через
каждую точку его проведём электрическую силовую линию (рис. ). Эти линии и
образуют силовую трубку. Рассмотрим произвольное сечение трубки поверхностью
S .
Положительную нормаль проведём в ту же сторону, в какую направлены силовые
линии. Пусть N —
поток вектора E →
через сечение S .
Нетрудно видеть, что если внутри трубки нет электрических зарядов, то поток
N остаётся одним
и тем же по всей длине трубки. Для доказательства нужно взять другое поперечное
сечение S ′ .
По теореме Гаусса, поток электрического поля через замкнутую
поверхность, ограниченную боковой поверхностью трубки и сечениями
S ,
S ′ ,
равен нулю, так как внутри силовой трубки нет электрических зарядов.
Поток через боковую поверхность равен нулю, так как вектор
E →
касается этой поверхности. Следовательно, поток через сечение
S ′ численно
равен N ,
но противоположен по знаку. Внешняя нормаль к замкнутой
поверхности на этом сечении направлена противоположно
n → .
Если же направить нормаль в ту же сторону, то потоки через сечения
S и
S ′ совпадут
и повеличине, и по знаку. В частности, если трубка бесконечно тонкая, а
сечения S
и S ′
нормальны к ней, то
E S = E ′ S ′ .
Получается полная аналогия с течением несжимаемой жидкости. В тех местах, где трубка тоньше, поле E → сильнее. В тех местах, где она шире, поле E → сильнее. Следовательно, по густоте силовых линий можно судить о напряженности электрического поля.
До изобретения компьютеров для экспериментального воспроизведения силовых линий брали стеклянный сосуд с плоским дном и наливали в него жидкость, не проводящую электрически ток, например, касторовое масло или глицерин. В жидкости равномерно размешивали истертые в порошок кристаллики гипса, асбеста или какие-либо другие продолговатые частицы. В жидкость погружали металлические электроды. При соединении с источниками электричества, электроды возбуждали электрическое поле. В этом поле частицы электризуются и, притягиваясь друг к другу разноименно наэлектризованными концами, располагаются в виде цепочек вдоль силовых линий. Картина силовых линий искажается течениями жидкости, вызываемыми силами, действующими на неё в неоднородном электрическом поле.
To Be Done Yet
Рис. 1.22
:
Лучшие результаты получаются по методу, применявшемуся Робертом
В. Полем (1884-1976). На стеклянную пластинку наклеиваются электроды
из станиоля, между которыми создается электрическое напряжение. Затем
на пластинку насыпают, слегка постукивая по ней, продолговатые частички,
например, кристаллики гипса. Они располагаются по ней вдоль силовых
линий. На рис. ??
изображена полученная таким образом картина
силовых линий между двумя разноименно заряженными кружками из
станиоля.
▸ Задача 9.1
Записать уравнение силовых линий в произвольных ортогональных координатах.
▸ Задача 9.2
Записать уравнение силовых линий в сферических координатах.
Для более наглядного графического изображения полей, кроме линий напряжённости, используют поверхности равного потенциала или эквипотенциальные поверхности. Как следует из названия, эквипотенциальная поверхность – это такая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Если потенциал задан как функция x, y, z, то уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:
Линии напряжённости поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Докажем это утверждение.
Пусть линия и силовая линия составляют некоторый угол (рис.1.5).
Переместим из точки 1 в точку 2 вдоль линии пробный заряд . При этом силы поля совершают работу:
. (1.5)
То есть работа перемещения пробного заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю. Эту же работу можно определить и другим способом – как произведение заряда на модуль напряженности поля, действующего на пробный заряд, на величину перемещения и на косинус угла между вектором и вектором перемещения , т.е. косинус угла (см.рис.1.5):
.
Величина работы не зависит от способа её подсчёта, согласно (1.5) она равна нулю. Отсюда вытекает, что и, соответственно, , что и требовалось доказать.
Эквипотенциальную поверхность можно провести через любую точку поля. Следовательно, таких поверхностей может быть построено бесконечное множество. Условились, однако, проводить поверхности таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была бы всюду одна и та же. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряжённости поля. Действительно, чем гуще располагаются эквипотенциальные поверхности, тем быстрее изменяется потенциал при перемещении вдоль нормали к поверхности.
На рис.1.6,а показаны эквипотенциальные поверхности (точнее, их пересечения с плоскостью чертежа) для поля точечного заряда. В соответствии с характером изменения эквипотенциальные поверхности при приближении к заряду становятся гуще. На рис.1.6,б изображены эквипотенциальные поверхности и линии напряжённости для поля диполя. Из рис.1.6 видно, что при одновременном использовании эквипотенциальных поверхностей и линий напряжённости картина поля получается особенно наглядной.
Для однородного поля эквипотенциальные поверхности, очевидно, представляют собой систему равноотстоящих друг от друга плоскостей, перпендикулярных к направлению напряжённости поля.
1.8. Связь между напряжённостью поля и потенциалом
(градиент потенциала)
Пусть имеется произвольное электростатическое поле. В этом поле проведём две эквипотенциальные поверхности таким образом, что они отличаются одна от другой потенциалом на величину dφ
(рис. 1.7)
Вектор напряжённости направлен по нормали к поверхности . Направление нормали совпадает с направлением оси x. Ось x
, проведённая из точки 1, пересекает поверхность 
в точке 2.
Отрезок dx представляет собой кратчайшее расстояние между точками 1 и 2. Работа, совершаемая при перемещении заряда вдоль этого отрезка:
С другой стороны, эту же работу можно записать как:
Приравнивая эти два выражения, получаем:
где символ частной производной подчёркивает, что дифференцирование производиться только по x . Повторив аналогичные рассуждения для осей y и z , можем найти вектор :
, (1.7)
где – единичные векторы координатных осей x, y, z.
Вектор, определяемый выражением (1.7), называется градиентом скаляра φ . Для него наряду с обозначением применяется также обозначение . («набла») означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона