3. Функция распределения является неубывающей : если , то
4. Функция распределения непрерывна слева : для любого .
Примечание . Последнее свойство обозначает, какие значения принимает функция распределения в точках разрыва. Иногда определение функции распределения формулируют с использованием нестрогого неравенства: . В этом случае непрерывность слева заменяется на непрерывность справа: при . Никакие содержательные свойства функции распределения при этом не меняются, поэтому данный вопрос является лишь терминологическим.
Свойства 1-4 являются характеристическими, т.е. любая функция , удовлетворяющая этим свойствам, является функцией распределения некоторой случайной величины.
Функция распределения задает распределение вероятностей случайной величины однозначно. Фактически, она является универсальным и наиболее наглядным способом описания этого распределения.
Чем сильнее функция распределения растет на заданном интервале числовой оси, тем выше вероятность попадания случайной величины в этот интервал. Если вероятность попадания в интервал равна нулю, то функция распределения на нем постоянна.
В частности, вероятность того, что случайная величина примет заданное значение , равна скачку функции распределения в данной точке:
.Если функция распределения непрерывна в точке , то вероятность принять данное значение для случайной величины равна нулю. В частности, если функция распределения непрерывна на всей числовой оси (при этом и соответствующее распределение называется непрерывным ), то вероятность принять любое заданное значение равна нулю.
Из определения функции распределения вытекает, что вероятность попадания случайной величины в интервал, замкнутый слева и открытый справа, равна:
С помощью данной формулы и указанного выше способа нахождения вероятности попадания в любую заданную точку, легко определяются вероятности попадания случайной величины в интервалы других типов: , и . Далее, по теореме о продолжении меры, можно однозначно продолжить меру на все борелевские множества числовой прямой . Для того, чтобы применить эту теорему, требуется показать, что таким образом определенная на интервалах мера является на них сигма-аддитивной; при доказательстве этого в точности используются свойства 1-4 (в частности, свойство непрерывности слева 4, поэтому отбросить его нельзя).
Генерация случайной величины, имеющей заданное распределение
Рассмотрим случайную величину , имеющую функцию распределения . Предположим, что непрерывна . Рассмотрим случайную величину
.Легко показать, что тогда будет иметь равномерное распределение на отрезке .
Определение функции случайных величин. Функция дискретного случайного аргумента и ее числовые характеристики. Функция непрерывного случайного аргумента и ее числовые характеристики. Функции двух случайных аргументов. Определение функции распределения вероятностей и плотности для функции двух случайных аргументов.
Закон распределения вероятностей функции одной случайной величины
При решении задач, связанных с оценкой точности работы различных автоматических систем, точности производства отдельных элементов систем и др., часто приходится рассматривать функции одной или нескольких случайных величин. Такие функции также являются случайными величинами. Поэтому при решении задач необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче случайных величин. При этом обычно известны закон распределения системы случайных аргументов и функциональная зависимость.
Таким образом, возникает задача, которую можно сформулировать так.
Дана система случайных величин (X_1,X_2,\ldots,X_n) , закон распределения которой известен. Рассматривается некоторая случайная величина Y как функция данных случайных величин:
Y=\varphi(X_1,X_2,\ldots,X_n).
Требуется определить закон распределения случайной величины Y , зная вид функций (6.1) и закон совместного распределения ее аргументов.
Рассмотрим задачу о законе распределения функции одного случайного аргумента
Y=\varphi(X).
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{X}&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline{P}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}
Тогда Y=\varphi(X) также дискретная случайная величина с возможными значениями . Если все значения y_1,y_2,\ldots,y_n различны, то для каждого k=1,2,\ldots,n события \{X=x_k\} и \{Y=y_k=\varphi(x_k)\} тождественны. Следовательно,
P\{Y=y_k\}=P\{X=x_k\}=p_k
и искомый ряд распределения имеет вид
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{Y}&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\\hline{P}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}
Если же среди чисел y_1=\varphi(x_1),y_2=\varphi(x_2),\ldots,y_n=\varphi(x_n) есть одинаковые, то каждой группе одинаковых значений y_k=\varphi(x_k) нужно отвести в таблице один столбец и соответствующие вероятности сложить.
Для непрерывных случайных величин задача ставится так: зная плотность распределения f(x) случайной величины X , найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=\varphi(X) . При решении поставленной задачи рассмотрим два случая.
Предположим сначала, что функция y=\varphi(x) является монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой на интервале (a;b) , на котором лежат все возможные значения величины X . Тогда обратная функция x=\psi(y) существует, при этом являясь также монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой. В этом случае получаем
G(y)=f\bigl(\psi(y)\bigr)\cdot |\psi"(y)|.
Пример 1. Случайная величина X распределена с плотностью
F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}
Найти закон распределения случайной величины Y , связанной с величиной X зависимостью Y=X^3 .
Решение. Так как функция y=x^3 монотонна на промежутке (-\infty;+\infty) , то можно применить формулу (6.2). Обратная функция по отношению к функции \varphi(x)=x^3 есть \psi(y)=\sqrt{y} , ее производная \psi"(y)=\frac{1}{3\sqrt{y^2}} . Следовательно,
G(y)=\frac{1}{3\sqrt{2\pi}}e^{-\sqrt{y^2}/2}\frac{1}{\sqrt{y^2}}
Рассмотрим случай немонотонной функции. Пусть функция y=\varphi(x) такова, что обратная функция x=\psi(y) неоднозначна, т. е. одному значению величины y соответствует несколько значений аргумента x , которые обозначим x_1=\psi_1(y),x_2=\psi_2(y),\ldots,x_n=\psi_n(y) , где n - число участков, на которых функция y=\varphi(x) изменяется монотонно. Тогда
G(y)=\sum\limits_{k=1}^{n}f\bigl(\psi_k(y)\bigr)\cdot |\psi"_k(y)|.
Пример 2. В условиях примера 1 найти распределение случайной величины Y=X^2 .
Решение. Обратная функция x=\psi(y) неоднозначна. Одному значению аргумента y соответствуют два значения функции x
Применяя формулу (6.3), получаем:
\begin{gathered}g(y)=f(\psi_1(y))|\psi"_1(y)|+f(\psi_2(y))|\psi"_2(y)|=\\\\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\left(-\sqrt{y^2}\right)^2/2}\!\left|-\frac{1}{2\sqrt{y}}\right|+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\left(\sqrt{y^2}\right)^2/2}\!\left|\frac{1}{2\sqrt{y}}\right|=\frac{1}{\sqrt{2\pi{y}}}\,e^{-y/2}.\end{gathered}
Закон распределения функции двух случайных величин
Пусть случайная величина Y является функцией двух случайных величин, образующих систему (X_1;X_2) , т. е. Y=\varphi(X_1;X_2) . Задача состоит в том, чтобы по известному распределению системы (X_1;X_2) найти распределение случайной величины Y .
Пусть f(x_1;x_2) - плотность распределения системы случайных величин (X_1;X_2) . Введем в рассмотрение новую величину Y_1 , равную X_1 , и рассмотрим систему уравнений
Будем полагать, что эта система однозначно разрешима относительно x_1,x_2
и удовлетворяет условиям дифференцируемости.
Плотность распределения случайной величины Y
G_1(y)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x_1;\psi(y;x_1))\!\left|\frac{\partial\psi(y;x_1)}{\partial{y}}\right|dx_1.
Заметим, что рассуждения не изменяются, если введенную новую величину Y_1 положить равной X_2 .
Математическое ожидание функции случайных величин
На практике часто встречаются случаи, когда нет особой надобности полностью определять закон распределения функции случайных величин, а достаточно только указать его числовые характеристики. Таким образом, возникает задача определения числовых характеристик функций случайных величин помимо законов распределения этих функций.
Пусть случайная величина Y является функцией случайного аргумента X с заданным законом распределения
Y=\varphi(X).
Требуется, не находя закона распределения величины Y , определить ее математическое ожидание
M(Y)=M[\varphi(X)].
Пусть X - дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{x_i}&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline{p_i}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}
Составим таблицу значений величины Y и вероятностей этих значений:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{y_i=\varphi(x_i)}&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\\hline{p_i}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}
Эта таблица не является рядом распределения случайной величины Y , так как в общем случае некоторые из значений могут совпадать между собой и значения в верхней строке не обязательно идут в возрастающем порядке. Однако математическое ожидание случайной величины Y можно определить по формуле
M[\varphi(X)]=\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi(x_i)p_i,
так как величина, определяемая формулой (6.4), не может измениться от того, что под знаком суммы некоторые члены будут заранее объединены, а порядок членов изменен.
Формула (6.4) не содержит в явном виде закон распределения самой функции \varphi(X) , а содержит только закон распределения аргумента X . Таким образом, для определения математического ожидания функции Y=\varphi(X) вовсе не требуется знать закон распределения функции \varphi(X) , а достаточно знать закон распределения аргумента X .
Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле
M[\varphi(X)]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)f(x)\,dx,
где f(x) - плотность распределения вероятностей случайной величины X .
Рассмотрим случаи, когда для нахождения математического ожидания функции случайных аргументов не требуется знание даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики. Сформулируем эти случаи в виде теорем.
Теорема 6.1. Математическое ожидание суммы как зависимых, так и независимых двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:
M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Теорема 6.2. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:
M(XY)=M(X)M(Y)+\mu_{xy}.
Следствие 6.1. Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Следствие 6.2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Дисперсия функции случайных величин
По определению дисперсии имеем D[Y]=M[(Y-M(Y))^2]. . Следовательно,
D[\varphi(x)]=M[(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2] , где .
Приведем расчетные формулы только для случая непрерывных случайных аргументов. Для функции одного случайного аргумента Y=\varphi(X) дисперсия выражается формулой
D[\varphi(x)]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2f(x)\,dx,
где M(\varphi(x))=M[\varphi(X)] - математическое ожидание функции \varphi(X) ; f(x) - плотность распределения величины X .
Формулу (6.5) можно заменить на следующую:
D[\varphi(x)]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi^2(x)f(x)\,dx-M^2(X)
Рассмотрим теоремы о дисперсиях , которые играют важную роль в теории вероятностей и ее приложениях.
Теорема 6.3. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий этих величин плюс удвоенная сумма корреляционных моментов каждой из слагаемых величин со всеми последующими:
D\!\left[\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right]=\sum\limits_{i=1}^{n}D+2\sum\limits_{i Следствие 6.3.
Дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D\!\left[\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right]=\sum\limits_{i=1}^{n}D
\mu_{y_1y_2}= M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2).
\mu_{y_1y_2}=M(\varphi_1(X)\varphi_2(X))-M(\varphi_1(X))M(\varphi_2(X)).
Рассмотрим основные свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции
. Свойство 1.
От прибавления к случайным величинам постоянных величин корреляционный момент и коэффициент корреляции не изменяются. Свойство 2.
Для любых случайных величин X
и Y
абсолютная величина корреляционного момента не превосходит среднего геометрического дисперсий данных величин: |\mu_{xy}|\leqslant\sqrt{D[X]\cdot D[Y]}=\sigma_x\cdot \sigma_y,
В предыдущем n° мы ввели в рассмотрение ряд распределения как
исчерпывающую характеристику (закон распределения) прерывной случайной
величины. Однако эта характеристика не является универсальной; она существует
только для прерывных случайных величин. Нетрудно убедиться, что для непрерывной
случайной величины такой характеристики построить нельзя. Действительно,
непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений,
сплошь заполняющих некоторый промежуток (так называемое «счетное множество»).
Составить таблицу, в которой были бы перечислены все возможные значения такой
случайной величины, невозможно. Кроме того, как мы увидим в дальнейшем, каждое
отдельное значение непрерывной случайной величины обычно не обладает никакой
отличной от нуля вероятностью. Следовательно, для непрерывной случайной
величины не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует
для прерывной величины. Однако различные области возможных значений случайной
величины все же не являются одинаково вероятными, и для непрерывной величины
существует «распределение вероятностей», хотя и не в том смысле, как для
прерывной. Для
количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно
воспользоваться не вероятностью события , а вероятностью события , где – некоторая текущая
переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от , есть некоторая функция от . Эта функция называется функцией
распределения случайной величины и обозначается : Функцию
распределения иногда
называют также интегральной функцией распределения или интегральным
законом распределения. Функция
распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она
существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных.
Функция распределения полностью характеризует случайную величину с
вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения. Сформулируем
некоторые общие свойства функции
распределения. 1. Функция
распределения есть
неубывающая функция своего аргумента, т.е. при . 2. На минус
бесконечности функция распределения равна нулю:. 3. На плюс
бесконечности функция распределения равна единице: . Не давая
строгого доказательства этих свойств, проиллюстрируем их с помощью наглядной
геометрической интерпретации. Для этого будем рассматривать случайную величину как случайную точку на оси Ох (рис. 5.2.1),
которая в результате опыта может занять то или иное положение. Тогда функция
распределения есть
вероятность того, что случайная точка в результате опыта попадет левее точки . Будем
увеличивать ,
т. е. перемещать точку вправо по оси абсцисс. Очевидно, при этом
вероятность того, что случайная точка попадет левее , не может уменьшиться;
следовательно, функция распределения с возрастанием убывать не может. Чтобы
убедиться в том, что , будем неограниченно перемещать точку влево по оси абсцисс.
При этом попадание случайной точки левее в пределе становится невозможным
событием; естественно полагать, что вероятность этого события стремится к нулю,
т.е. . Аналогичным
образом, неограниченно перемещая точку вправо, убеждаемся, что , так как событие становится в пределе
достоверным. График функции
распределения в
общем случае представляет собой график неубывающей функции (рис. 5.2.2),
значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точках
функция может иметь скачки (разрывы). Зная ряд
распределения прерывной случайной величины, можно легко построить функцию
распределения этой величины. Действительно, где неравенство под знаком суммы
указывает, что суммирование распространяется на все те значения , которые меньше . Когда текущая
переменная проходит
через какое-нибудь из возможных значений прерывной величины , функция распределения меняется
скачкообразно, причем величина скачка равна вероятности этого значения. Пример 1. Производится один опыт, в котором
может появиться или не появиться событие . Вероятность события равна 0,3. Случайная величина – число появлений
события в
опыте (характеристическая случайная величина события ). Построить её функцию
распределения. Решение. Ряд распределения величины имеет вид: Построим
функцию распределения величины : График функции
распределения представлен на рис. 5.2.3. В точках разрыва функция принимает значения,
отмеченные на чертеже точками (функция непрерывна слева). Пример 2. В условиях предыдущего примера
производится 4 независимых опыта. Построить функцию распределения числа
появлений события . Решение. Обозначим – число появлений события в четырех опытах. Эта
величина имеет ряд распределения Построим
функцию распределения случайной величины : 3) при ; На практике
обычно функция распределения непрерывной случайной величины представляет собой
функцию, непрерывную во всех точках, как это показано на рис. 5.2.6. Однако
можно построить примеры случайных величин, возможные значения которых
непрерывно заполняют некоторый промежуток, но для которых функция распределения
не везде является непрерывной, а в отдельных точках терпит разрыв (рис. 5.2.7). Такие случайные величины
называются смешанными. В качестве примера смешанной величины можно привести
площадь разрушений, наносимых цели бомбой, радиус разрушительного действия
которой равен R (рис. 5.2.8). Значения этой случайной величины
непрерывно заполняют промежуток от 0 до , осуществляющиеся при положениях бомбы
типа I и II, обладают определенной конечной вероятностью, и этим
значениям соответствуют скачки функции распределения, тогда как в промежуточных
значениях (положение типа III) функция
распределения непрерывна. Другой пример смешанной случайной величины – время T безотказной работы прибора, испытываемого в течение
времени t. Функция распределения этой случайной
величины непрерывна всюду, кроме точки t. Функция распределения вероятностей и ее свойства.
Функцией распределения вероятностей F(x) случайной величины Х в точке х называется вероятность того, что в результате опыта случайная величина примет значение, меньше, чем х, т.е. F(x)=P{X < х}. 1. F(-∞)=lim (x→-∞) F(x)=0. Действительно, по определению, F(-∞)=P{X < -∞}. Событие (X < -∞) является невозможным событием: F(-∞)=P{X < - ∞}=p{V}=0. 2. F(∞)=lim (x→∞) F(x)=1, так как по определению, F(∞)=P{X < ∞}. Событие Х < ∞ является достоверным событием. Следовательно, F(∞)=P{X < ∞}=p{U}=1. 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [Α Β] равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале. P{Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α). 4. F(x 2)≥ F(x 1), если x 2, > x 1 , т.е. функция распределения вероятностей является неубывающей функцией. 5. Функция распределения вероятностей непрерывна слева. FΨ(x o -0)=limFΨ(x)=FΨ(x o) при х→ x o Различия между функциями распределения вероятностей дискретной и непрерывной случайных величин хорошо иллюстрировать графиками. Пусть, например, дискретная случайная величина имеет n возможных значений, вероятности которых равны P{X=x k }=p k , k=1,2,..n. Если x ≤ x 1 , то F(Х)=0, так как левее х нет возможных значений случайной величины. Если x 1 < x ≤ x 2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х 1 . Значит, F(x)=P{X=x 1 }=p 1 .При x 2 < x ≤ x 3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x 1 }+P{X=x 2 }=p 1 +p 2 . Рассуждая аналогично,приходим к выводу, что если х k < x≤ x k+1 , то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна еденице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность. Рассмотрим вероятность попадания случайной величины в интервал , Δx>0: P{x≤X< x+Δx}=F(x+ Δx)-F(x). Перейдем к пределу при Δx→0: lim (Δx→0) P{x≤ X < x+Δx}=lim (Δx→0) F(x+Δx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim (Δx→0) F(x+Δx)=F(x), т.е. P{X=x}=0. Если F(x) имеет разрыв в точке х, то вероятность P{X=x} будет равна скачку функции в этой точке. Таким образом, вероятность появления любого возможного значения для непрерывной величины равна нулю. Выражение P{X=x}=0 следует понимать как предел вероятности попадания случайной величины в бесконечно малую окрестность точки х при P{Α< X≤ Β},P{Α ≤ X< Β},P{Α< X< Β},P{Α ≤ X≤ Β} равны, если Х - непрерывная случайная величина. Для дискретных величин эти вероятности неодинаковы в том случае, когда границы интервала Α и(или) Β совпадают с возможными значениями случайной величин.
Для дискретной случайной величины необходимо строго учитывать тип неравенства в формуле P{Α ≤X<Β}=F(Β)-F(Α). Случайной величиной
называется переменная, которая
может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и случайная величина называется непрерывной
, если
она может принимать любое значение из какого-либо ограниченного или неограниченного
интервала. Для непрерывной случайной величины невозможно указать все возможные
значения, поэтому обозначают интервалы этих значений, которые связаны с определёнными
вероятностями. Примерами непрерывных случайных величин могут служить: диаметр
детали, обтачиваемой до заданного размера, рост человека, дальность полёта снаряда и др. Так как для непрерывных случайных величин функция F
(x
), в отличие
от дискретных случайных величин
, нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения
непрерывной случайной величины равна нулю. Это значит, что для непрерывной случайной величины бессмысленно говорить о распределении
вероятностей между её значениями: каждое из них имеет нулевую вероятность. Однако в некотором смысле
среди значений непрерывной случайной величины есть "более и менее вероятные". Например, вряд ли у кого-либо
возникнет сомнение, что значение случайной величины - роста наугад встреченного человека - 170 см - более
вероятно, чем 220 см, хотя и одно, и другое значение могут встретиться на практике. В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных
величин, вводится понятие плотности распределения или плотности вероятности. Подойдём к нему путём
сравнения смысла функции распределения для непрерывной случайной величины и для дискретной случайной величины. Итак, функцией распределения случайной величины (как
дискретной, так и непрерывной) или интегральной функцией
называется функция ,
которая определяет вероятность, что значение случайной величины X
меньше или
равно граничному значению х
. Для дискретной случайной величины в точках её значений
x
1
, x
2
, ..., x
i
,...
сосредоточены массы вероятностей p
1
, p
2
, ..., p
i
,...
,
причём сумма всех масс равна 1. Перенесём эту интерпретацию на случай непрерывной случайной величины.
Представим себе, что масса, равная 1, не сосредоточена в отдельных точках, а непрерывно "размазана"
по оси абсцисс Оx
с какой-то неравномерной плотностью. Вероятность попадания случайной величины
на любой участок Δx
будет интерпретироваться как масса, приходящаяся
на этот участок, а средняя плотность на этом участке - как отношение массы к длине. Только что мы
ввели важное понятие теории вероятностей: плотность распределения. Плотностью вероятности
f
(x
)
непрерывной случайной величины называется производная её функции распределения: Зная функцию плотности, можно найти вероятность того, что значение
непрерывной случайной величины принадлежит закрытому интервалу [a
; b
]: вероятность того, что непрерывная случайная величина X
примет какое-либо значение из интервала [a
; b
], равна определённому
интегралу от её плотности вероятности в пределах от a
до b
: При этом общая формула функции F
(x
)
распределения вероятностей непрерывной случайной величины, которой можно пользоваться, если известна функция
плотности f
(x
)
: График плотности вероятности непрерывной случайной величины
называется её кривой распределения (рис. ниже). Площадь фигуры (на рисунке заштрихована), ограниченной кривой, прямыми, проведёнными из точек a
и b
перпендикулярно оси абсцисс, и осью Ох
, графически отображает вероятность того,
что значение непрерывной случайной величины Х
находится в пределах от
a
до b
. 1. Вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из интервала
(и площадь фигуры,
которую ограничивают график функции f
(x
) и ось
Ох
) равна единице: 2. Функция плотности вероятности не может принимать отрицательные значения: а за пределами существования распределения её значение равно нулю Плотность распределения f
(x
), как и функция распределения
F
(x
), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции
распределения, она не универсальна: плотность распределения существует только для непрерывных
случайных величин. Упомянем о двух важнейших в практике видах распределения непрерывной случайной величины. Если функция плотности распределения f
(x
) непрерывной случайной
величины в некотором конечном интервале [a
; b
] принимает постоянное значение
C
, а за пределами интервала принимает значение, равное нулю, то такое распределение называется
равномерным
. Если график функции плотности распределения симметричен относительно центра,
средние значения сосредоточены вблизи центра, а при отдалении от центра собираются более отличающиеся от средних
(график функции напоминает разрез колокола), то такое распределение называется нормальным
. Пример 1.
Известна функция распределения вероятностей
непрерывной случайной величины: Найти функцию f
(x
)
плотности
вероятности непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что
непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 4 до 8:
. Решение. Функцию плотности вероятности получаем, находя производную функции распределения
вероятностей: График функции F
(x
)
- парабола: График функции f
(x
)
- прямая: Найдём вероятность того, что
непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 4 до 8: Пример 2.
Функция плотности вероятности
непрерывной случайной величины дана в виде: Вычислить коэффициент C
. Найти функцию F
(x
)
распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что
непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 0 до 5:
. Решение. Коэффициент C
найдём, пользуясь
свойством 1 функции плотности вероятности: Таким образом, функция плотности вероятности непрерывной случайной величины: Интегрируя, найдём функцию F
(x
)
распределения вероятностей. Если x
< 0
, то
F
(x
) = 0
. Если 0 < x
< 10
, то x
> 10
, то
F
(x
) = 1
. Таким образом, полная запись функции распределения вероятностей: График функции f
(x
)
: График функции F
(x
)
: Найдём вероятность того, что
непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 0 до 5: Пример 3.
Плотность вероятности непрерывной
случайной величины X
задана равенством
,
при этом .
Найти коэффициент А
, вероятность того, что непрерывная случайная величина
X
примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[, функцию распределения
непрерывной случайной величины X
. Решение. По условию
приходим к равенству Следовательно, ,
откуда . Итак, Теперь находим вероятность того, что непрерывная случайная величина
X
примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[: Теперь получим функцию распределения данной случайной величины: Пример 4.
Найти плотность вероятности непрерывной
случайной величины X
, которая принимает только неотрицательные значения, а
её функция распределения
т. е. корреляционный момент двух функций случайных величин равен математическому ожиданию произведения этих функций минус произведение из математических ожиданий.
. (5.2.1)
,
Рассмотрим свойства функции F(x).
Функция распределения непрерывной случайной величины и плотность вероятности
.
.
.
Свойства функции плотности вероятности непрерывной случайной величины
.
.
.