Правило прибавления суммы к числу и приемы вычислений, основанные на этом правиле. Конспект урока "прибавление суммы к сумме"

Читайте также: Iгруппа – Критерии основанные на дисконтированных оценках, т.е учитывают фактор времени:NPV,PI, IRR,DPP. Аварийные переключения, как правило, производятся в ограниченном временном интервале и требуют от персонала четкости, самостоятельности и ответственности при их выполнении. Амортизация: понятие и методы расчеты суммы амортизационных вычислений в бухгалтерском учете и НК Анализ деловой активности организации (правило экономического роста) (задача) Байесово решающее правило классификации (в распознавании образов) при дискретных признаках. Байесово решающее правило классификации (в распознавании образов) при непрерывных признаках. Блок. 6. Методы и приемы воспитательного воздействия на сферу неформального общения

Знакомство с правилом происходит при использовании различных наглядных средств демонстрационного и индивидуального использо­вания: предметов или их изображений (цветов, птиц, фруктов, геомет­рических фигур).

В классе слабовидящих на демонстрационном наборном полотне - изображение гвоздик разного цвета: розового, красного и белого.

На доске пример: 4+(3+2), который учащиеся решают, выполнив действия в скобках. Появляется запись 4+(3+2)=4+5: =9.

По просьбе учителя учащиеся показывают практически с помо­щью гвоздик составление букета, соединяют гвоздики красного и бе­лого цветов, затем их присоединяют к 4 гвоздикам розового цвета.

Учащиеся делают вывод о том, что можно вычислить сумму и прибавить ее к числу. На доске пример: 4+(3+2), гвоздики на своих местах.

Учитель. Как по-другому можно составить букет из этих гвоздик и записать

решение примера?

Ученик. Можно к 4 розовым гвоздикам присоединить 3 красные, получится 7 гвоздик, и к ним добавить 2 белые гвоздики: 4+(3+2)=(4+3)+2=9.

Можно к числу прибавить первое слагаемое и к полученной сум­ме прибавить второе слагаемое.

Чтобы убедиться в том, что имеется еще и третий способ реше­ния, учащиеся объединяют гвоздики розового и белого цветов и к ним добавляют 3 красных гвоздики, ведут пояснения при выполнении за­писи 4+(3+2)=(4+2)+3=9.

Особое внимание учащихся обращается на одинаковые ответы при разных способах прибавления суммы к числу.

Для закрепления учащиеся решают аналогичные примеры тремя способами с объяснением, привлекаются при этом другие наглядные пособия (объемные игрушки, трафареты изображений фруктов, ово­щей, птиц, зверей). Примеры вида: 7+(2+1), 2+(1+4), 3+(2+4) и другие.

Практика обучения школьников с нарушением зрения показывает, что опыт в оперировании с предметами в решении примеров, осно­ванных на ранее пройденных правилах прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы, положительно сказывается на усвоении трех способов прибавления суммы к числу.

Учащиеся быстрее, активнее и с большей долей самостоятельности выполняют решение примеров разными способами, делают выводы.

На одном из уроков учащиеся знакомятся с решением примеров вида: 9+3, 8+5.

Правило прибавления суммы к числу используется при решении примеров на сложение однозначных чисел в пределах второго десятка, это позволяет прибавлять к 6, 7, 8, 9 число по частям.

Используя наборные полотна с двумя рядами по 10 кружков или квадратов, счеты математического прибора Н. В. Клушиной, учащиесядополняют верхний ряд фигур до 10, а затем прибавляют оставшиеся фигуры, помещают их в другом ряду.

Приведем рассуждение ученика при решении примера 9+3:

«3 представим в виде суммы удобных слагаемых: 1 и 2, к 9 при­бавим сначала 1, получится 10, к 10 прибавим 2, получится 12».

Учащиеся читают выполненную на карточке запись: 9+3=9+(1+2)=(9+1)+2=12.

Для закрепления предлагаются примеры: 7+6, 9+7, 7+5, 8+6, 8+5. Учащиеся из всех возможных вариантов состава чисел, например: 6 - это сумма чисел 4 и 2, 1 и 5, 2 и 4, выбирают удобный, т. е. прибав­ляют число 3 и затем к 10 прибавляют еще 3. Такое рассуждение дает возможность записать: 7+6=13.

В дальнейшем предлагается множество примеров, при решении которых получают в сумме 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.

Вместе с учащимися составляется таблица сложения однознач­ных чисел.

Решение примеров вида 12-5 осуществляется на основе знания правила вычитания суммы из числа. Необходимо научить вычитать число 5 по частям, сначала вычесть 2 и затем оставшееся число 3.

Предварительно, практически оперируя с предметами, учащиеся убеждаются в том, что сумму 2+1 из числа 7, например, можно вы­честь тремя способами.

1. Можно вычислить сумму и вычесть ее из числа: 7-(2+1)=7-3=4. Выполняется соответствующее предметное действие. Из коробочки с 7 желудями вынимают сразу 3 желудя,

2. Можно из числа вычесть первое слагаемое и из полученной разности вычесть второе слагаемое: 7-(2+1)=(7-2)-1=5-1=4.

Из коробочки с желудями учащиеся убирают сначала 2 желудя, из оставшихся 5 убирают еще 1.

3. Можно из числа вычесть второе слагаемое, из полученной раз­ности вычесть первое слагаемое:

7-(2+1)=(7-1)-2=6-2=4.

Для закрепления правила решаются разными способами примеры с объяснением: 9-(3+1), 10-(2+4), 9-(4+3), удобным способом: 16-(6+2), 18-(8+3), 14-(2+4).

В дальнейшем учащиеся выполняют большое количество упраж­нений на вычитание из двузначного числа (от 11 до 18) однозначных чисел с переходом через десяток.

14-6 15-6 15-9 18-9

12-8 11-7 17-8 13-5

При изучении вычитания чисел 5, 6, 7,8, 9 в пределах 10 школь­ники использовали правило: «Если из суммы вычесть одно слагаемое, то останется другое слагаемое».

Усвоение таблицы сложения однозначных чисел в пределах вто­рого десятка дает возможность учащимся использовать и другой спо­соб вычитания из двузначного числа. К примеру, рассуждение учени­ка: «15 - сумма чисел 7 и 8, вычтем 8, получится 7: 15-8=7.

При решении примеров вида: 36+7 и 36-7 учащиеся опираются на правила прибавления числа к сумме и вычитания числа из суммы. Прибавление числа 7 осуществляют по частям, предварительно пред­ставив его в виде суммы удобных слагаемых: 4 и 3.

Во втором примере число 7 представляют в виде суммы чисел 6 и 1, затем из 36 вычитают 6 и из полученной разности вычитают 1.

На уроке ознакомления с решением примеров в классах для детей с нарушениями зрения каждому ученику предлагается прочитать и объяснить готовые решения подобных примеров:

58+6=58+(2+4)=(58+2}+-4=64 82-7=82-(2+5)=(82-2)-5=75

Подобные записи могут быть выполнены и учащимися под руко­водством учителя. В дальнейшем пояснения выполняются устно, записываются только ответы.

§ 3. ОБУЧЕНИЕ УМНОЖЕНИЮ И ДЕЛЕНИЮ

К моменту введения действия умножения учащиеся должны уметь находить численность объединения равночисленных множеств, выкладывать по заданию учителя предметы группами одинаковой численности. Учащиеся должны уметь присчитывать к данному числу по 2, по 3, по 5 и др., решать задачи на нахождение суммы одинаковых слагаемых.

Подготовительная работа начинается задолго до ознакомления с действием умножением.

Учащиеся выполняют ряд упражнений.

1. Упражнения в объединении групп предметов одинаковой чис­ленности. Предметы или их изображения располагаются на наборном полотне, карточке, парте.

Например, в классе слабовидящих перед учащимися на наборном полотне или на фланелеграфе выставлены трафареты трех тарелок, в каждой из которых по 4 яблока. Учитель задает вопросы: «Сколько innяблок в тарелке? Сколько раз по 4 яблока положили? Сколько всего яблок?». Результат находится действием сложения.

В классе слепых учитель заранее раскладывает на парту каждому ученику наборные полотна с несколькими группами предметов. Уча­щимся предлагается определить, сколько предметов в каждой группе отдельно, а затем - сколько их всего.

Большую помощь в проведении упражнений оказывают различ­ные рисунки, приготовленные в расчете на зрительное восприятие для слабовидящих, зрительное и осязательное для частичнозрячих. Сле­пыми учащимися хорошо воспринимаются аппликации групп предме­тов одинаковой численности, выполненных на отдельной карточке (например 6 веток, на каждой из которых по 3 вишни).

2. Упражнения в выкладывании предметов группами одинаковой численности. Например, учащиеся должны поставить в каждый ряд наборного полотна по 5 кружков и определить, сколько их всего.

3. Упражнения в счете предметов двойками, тройками, пятерками, десятками.

Так, еще в 1-м классе предлагаются упражнения в расположении предметов (уточек, кубиков и др.) парами и в определении общего их числа.

4. В период подготовки используются задания на сложение отвле­ченных одинаковых чисел. Это решение примеров вида:

1+1+К+Ї

Причем учащимися отмечается каждый раз, какое число взяли слагаемым и сколько раз.

5. Упражнения в сравнении двух сумм, состоящих из различного числа одинаковых слагаемых. Например, сравниваются выражения:

6+6+6+6+6 и 6+6+6

Ценным является умение ученика обоснованно поставить знак неравенства, не вычисляя сумм слева и справа (слева и справа сумма одинаковых слагаемых, слева число 6 взяли 5 раз, а справа - только 3, значит ставим знак «больше»).

6. Решение задач на нахождение суммы одинаковых слагаемых. Например, задача: «Трое мальчиков вырезали по 8 флажков для ново­годнего праздника. Сколько всего флажков вырезали мальчики». В работе над задачей широко используется иллюстрация, дети выкла­дывают флажки, вырезанные каждым мальчиком. Учащиеся состав­ляют пример 8+8+8, который и является решением задачи.

Ознакомление с действием умножения проходит с широким при­влечением различных наглядных средств (рисунки с группами пред­метов одинаковой численности, наборные полотна, фланелеграфы, трафареты, изображений предметов, объемные маленькие игрушки для индивидуального пользования).

По иллюстрации учащиеся составляют примеры вида: 4+4+4+4, вычисляют и записывают результат, затем учитель дает определение умножения и более короткую запись 4x5. Учащиеся составляют ряд примеров на сложение по другим иллюстрациям и к каждому из них пример на умножение. Школьники усваивают определение умноже­ния: «Сложение одинаковых слагаемых называют умножением».

Для закрепления предлагаются упражнения в составлении иллю­страции примеров на сложение и замена этих примеров примерами на умножение.

Следующими предъявляются задания на замену примеров на ум­ножение примерами на сложение:

7+7+7+7=28 7x4=28

При этом ставятся вопросы: «Какое число берется слагаемым? Сколько раз берется слагаемым число 7?».

В процессе работы над действием деления учащиеся должны научиться практически раскладывать определенное число предметов группами поровну, соблюдая при этом строгую последовательность. Оперирование с предметами должно сопровождаться проговариванием.

Первым вводится деление по содержанию, затем - деление на равные части. При изучении действия деления слепые и слабовидя­щие учащиеся испытывают трудности в практическом оперировании с предметами, в дифференцировании двух видов заданий. В процессе подготовительной работы и ознакомления с делением недостаточно ограничиваться только теми средствами наглядности, которые реко­мендуются для нормально видящих. Для учащихся с глубокими на­рушениями зрения необходима углубленная целенаправленная подго­товительная работа по обучению выполнению практических действий соответственно содержанию заданий.

Упражнения в раскладывании предметов одинаковыми группами предлагаются учащимся 2-го класса. Обучая раскладыванию тотально слепых учащихся, важно следить за тем, чтобы предметы не смеши­вались, образовывая именно группы. Для этого, как показывает практика, необходимо ввести два вида средств наглядности (фрукты и та­релки, цветы и вазы, палочки и коробки).

Пример фрагмента урока во 2-м классе слепых, на котором выпол­няются подготовительные упражнения к ознакомлению с делением.

Учитель. Разложите 8 груш на тарелки по 2 груши. Объясните, как нужно раскладывать.

Учащиеся. Возьмем сначала 2 груши, положим на тарелку, затем возьмем еще 2 груши, положим на другую тарелку. (Выкладывают.) Берем еще 2 груши и тарелку. Остались последние 2 груши, положим их тоже на тарелку.

Учитель. Сосчитайте, сколько тарелок понадобилось?

Учащиеся. Понадобилось 4 тарелки.

Проговаривая свои действия, учащиеся дают себе отчет в том, что ь они делают, как и какое задание учителя они выполняют. Практика обучения показывает, учащимся гораздо проще молча разложить предметы. Проговаривание, комментирование своих действий являет­ся хорошей подготовительной работой к обоснованию в будущем вы­бора арифметического действия при решении задач на деление по со­держанию. Ознакомление с делением по содержанию проходит при широком использовании наглядных средств. Как для класса слабови­дящих, так и для класса слепых детей необходимы трафареты изобра­жений тех предметов, о которых пойдет речь в задаче.

К примеру, задача: «12 апельсиндв нужно разложить по 3 апель­сина в каждую тарелку. Сколько тарелок понадобится?».

Учитель. Слева у каждого на парте лежат апельсины, сосчитайте их. Сколько апельсинов?

Учащиеся. 12 апельсинов.

Учитель. Как их нужно разложить на тарелки?

Учащиеся. 12 апельсинов нужно разложить по 3 апельсина.

Учитель. Посмотрите, что у вас справа на парте?

Учащиеся. Справа - тарелки.

Учитель. Как будем раскладывать апельсины? Раскладывая, объясняйте.

Учащиеся. Берем 3 апельсина и положим их на тарелку, затем берем еще 3 апельсина и тарелку, потом еще 3 апельсина и тарелку, последние 3 апельсина положим еще на одну тарелку.

Учитель. Что же мы сейчас сделали?

Учащиеся. Разложили 12 апельсинов по 3 апельсина.

Учитель. Мы разделили 12 апельсинов по 3 апельсина. Сколько раз по 3 апельсина содержится в 12 апельсинах?

Учащиеся. 4 раза.

Учитель. Сколько тарелок понадобилось?

Учащиеся. 4 тарелки.

Учитель. Запишем вместе решение задачи в тетрадь.

Учащиеся. 12:3=4 (т.).

Учитель. Послушайте, как нужно правильно читать это решение: «12 раз­делить по 3 получится 4».

Как показывает практика, требуется кропотливая индивидуальная работа по обучению выполнения деления с объяснением. В процессе обучения выявляются групповые и индивидуальные различия про­движении при овладении способами практических действий и их обосновании.

Целью подготовительной работы к делению на равные части яв­ляется обогащение опыта практического оперирования предметами, усвоение определенной последовательности выполнения действий. Предлагается множество упражнений с наглядными пособиями. На демонстрационном наборном полотне в классе слабовидящих - тра­фареты цветов. Например, нужно раздать поровну цветы трем учени­кам (к доске вызваны учащиеся). Обращается внимание на самое на­чало действия.

Учитель. Сколько гвоздик надо взять сначала, чтобы каждому досталось по

Учащиеся. Нужно взять столько гвоздик, сколько учеников. Возьмем 3 гвоздики и каждому дадим по одной, потом еще берем 3 гвоздики и даем по од­ной и т. д.

В отличие от деления по содержанию учащиеся сразу не могут определить по сколько достанется каждому. Потому-то и брать нужно вначале в расчете на то, чтобы каждому досталось по Ц Требуется проделать большое количество упражнений с различными^ предмета­ми у доски и на местах для слабовидящих, для слепых учащихся - на индивидуальных наборных полотнах. Большое внимание уделяется формированию умения объяснить, как нужно выполнить действие. Во время подготовительной работы также важно наличие двух видов на­глядных средств (вазы и цветы, грибы и корзинки). На первых порах трудно для слепых и слабовидящих выполнение задания: разложить геометрические фигуры (кружки, квадраты) на равные группы. Прак­тика показывает, что учащиеся, разложив, например, кружки на четы­ре равные группы, тут же смешивали два вида деления. На вопрос учителя: «Как вы разложили кружки?» отвечали: «По три». Подобные задания могут быть введены только после того, как учащиеся научи­лись раскладывать поровну предметы, их изображения, пользуясь двумя видами наглядных средств, например, фрукты и тарелки.

Учитель ставит при этом следующие вопросы: «12 яблок разло­жили на 4 тарелки поровну. Сколько яблок в каждой тарелке?».

Учитель. Что означает число 4? Учащиеся. На 4 тарелки раскладывали яблоки. Учитель. Что значит раздали поровну?

Учащиеся. Одинаковое число на каждую тарелку, на равные части. Учитель. На сколько равных частей разделили яблоки? Учащиеся. Яблоки разделили на 4 равные части.

Учитель. Сколько яблок надо взять сразу, чтобы на каждую тарелку поло­жить по 1 яблоку?

Учащиеся. Надо взять 4 яблока.

Учащимся дается установка на соблюдение последовательности выполнения деления, обращается внимание при этом на проговарива-ние. Так, ученик рассуждает: «Сначала возьмем столько яблок, сколь­ко тарелок, на каждую положим по 1 яблоку. Потом снова берем 4 яб­лока и положим по 1 на каждую тарелку, затем возьмем еще 4 яблока и положим на тарелки по 1». Учащиеся путем пересчета яблок в та­релке дают ответ.

Записывают: 12:4=3 (ябл.).

Для закрепления предлагаются задачи на деление на равные части.

Прозвенел звонок, Начинается урок!

Здравствуйте ребята!

Меня зовут Татьяна Игоревна.

(Играет музыка из фиксиков: «А кто такие фиксики большой большой секрет..»

Ребята а вы не знаете от куда эта песенка?

Нравиться вам этот мультфильм?

Герои этого мультфильма будут сегодня помогать нам на уроке.

Посмотрите кто к нам пришёл на урок: Нолик и Симка. А принесли она вам примеры.. Но пока они бежали. То упали и все примеры рассыпались и перепутались. Они помнят, что несли разные примеры. Давайте поможем им распределить, кто какие примеры нес. (Даны 10 примеров: 5 на вычитание и 5 на сложение).

Ребята, а как называются числа в примерах на вычитание?

Чего не хватает нам?

Давайте посчитаем.

Хорошо, молодцы. А как называются числа при сложении?

Чего не хватает?

Ребята, посмотрите, а какой пример отличается от остальных?

Чем этот пример отличается от других?

Как вы думаете, какие примеры мы будем решать сегодня на уроке?

Мы свами будем учиться группировать слагаемые.

Физминутка: Ребята, а сейчас мы с вами немного отдохнем. Я вам буду показывать движения, а вы повторяйте за мной.

Под музыку из фиксиков, дети изображают телевизор, холодильник.

Ребята у Симки и Нолика есть друзья, трое из них занимаются футболом, один фигурным катанием. И двое лыжами. Сегодня в роли друзей выступите вы. Согласны?

Учитель берет 3 человека с 1 ряда, прикрепляет таблички к ним с надписью «Футболисты», 1 человека со второго ряда и прикрепляет табличку «Фигурист», и 2 человека с третьего ряда, и прикрепляет табличку «Лыжник».

Ребята, нолик решил устроить «Веселые старты» и пригласил своих друзей, первыми пришли футболисты и фигурист. Сколько друзей пришли первыми?

Потом подошли лыжники. Сколько всего друзей пришло на «Веселые старты»? Как мы с Вами можем это записать с помощью примера? Учитель записывает на доске (3+1)+2=6

А в другой день Симка решила пригласить их всех покататься на лыжах. Первыми пришли футболисты и лыжники. Сколько сначала пришло детей покататься на лыжах? Позже подошел фигурист. Сколько всего детей пришло покататься на лыжах? Как мы это запишем примером?

Спасибо ребята садитесь.

Посмотрите внимательно на получившиеся примеры. Слагаемые одинаковые? Значения суммы равны? А как удобнее нам посчитать? К терм мы можем прибавить 2, а потом 1, или наоборот сначала прибавить один, а потом 2. Как удобнее нам это сделать?

Физминутка для глаз, на презентации

На презентации записаны примеры.

Посмотрите на картинку. Какое выражение мы с вами можем составить к первой картинке ((2+3)+5=5+5=10)

Запишите в тетрадь.

Аналогично еще с двумя картинками

Итак ребята, какие мы с вами выводы можем сделать?

Зависит ли ответ примера, в каком порядке мы прибавляем числа?

Можем ли мы прибавить к первому слагаемому сначала 3третье слагаемое, а потом второе слагаемое? Измениться ли при этом значение суммы?

Ребята вам понравился урок?

Нолику и симке тоже очень понравилось, как вы работали. И они хотят вам подарить подарок, небольшую картинку- раскраску фиксиков.

Является следующим по сложности видом сумм, так как образуется сумма, в которой при сложении единиц какого-либо разряда образуется единица старшего разряда.

При сложении однозначных чисел, например 5 и 8, получается двузначное число, т.е.образуется единица старшего разряда – разряда десятков. Эта единица записывается на соответствующем месте.

При сложении чисел 25 и 8. При сложении 5 и 8 получается новый десяток, который приплюсовывается к имеющимся двум десяткам.

Выполняемая операция комментируется следующим образом:

К 6 прибавить 4, получится 10. В разряде единиц записываю ноль, а один десяток запоминаю. К 5 прибавить 3, получится 8, и еще один десяток – получится 9. В разряде десятков записываю 9. К 3 сотням прибавить 2, получится 5 сотен. В разряде сотен записываю 5. Ответ 590.

В дальнейшем ученики проговаривают промежуточные операции более кратко.

354+237=591

При вычислении сумм, в которых при сложении десятков образуется сотня.

354+462=816

Сложение трехзначных чисел, когда образуется и десяток и сотня.

Сначала сложение выполняется на абаке. Последовательно объясняется замена 10 единиц десятком, а затем 10 десятков – сотней. 354+246=600

К 4 прибавить 7 – 11. Один пишу, один запоминаю. К 5 прибавить 6 – 11 и еще один – 12, два пишу, один запоминаю. К 3 прибавить 2 – 5 и еще 1 – 6. Сумма равна 621.

Учитель объясняет на конкретном примере, почему сложение в столбик начинается с единиц младшего разряда. Если начать складывать числа 367 и 594 с разряда сотен, то в сумму придется дважды вносить поправки.

При изучении приема письменного вычитания, так же как и сложения, последовательно рассматриваются разные по сложности случаи: 382-261

Действия иллюстрируются с помощью абака и записываются на математическом языке:

382-261=(300-200)+(80-60)+(2-1)=100+20+1=121

По аналогии со сложение в столбик видно, что записывать операцию вычитания экономнее столбиком.

Вычитаемое записывается под уменьшаемым. Вычитание, подобно сложению, начинается с разряда единиц.

В одном из разрядов уменьшаемого меньше единиц, чем в соответствующем разряде вычитаемого: 583-277

Из 583 вычитается 277. Из 3 вычесть 7 нельзя. Выход – в использовании правила замены 10 единиц десятком в обратном порядке. Теперь десяток заменяется 10 единицами. На спице единиц становится 13 косточек, зато на спице десятков – на 1 косточку меньше. Вначале промежуточное преобразование уменьшаемого можно записать. В дальнейшем оно выполняется в уме. Чтобы не забыть, что в старшем разряде была занята единица, над этим разрядом ставят точку.

Затем изучается случай, когда в уменьшаемом занимается единица из разряда сотен: 836-354

Из 836 вычитается 354. От 6 отнять 4, получится 2, 2 записываю в разряд единиц. От 3 отнять 5 нельзя. Занимаю от 8 одну сотню. Ставлю над 8 точку – это значит, что осталось 7 сотен. Сотню дроблю на 10 десятков. От 13 десятков отнять 5, получится 8. Записываю 8 в разряд десятков. От 7 сотен отнять 3, получится 4 сотни. Записываю 4 в разряд сотен. Ответ 482.

Подробно рассматривается случай, когда в двух разрядах уменьшаемого меньше единиц, чем в соответствующих разрядах вычитаемого: 564-267

Из 564 вычитается 267. От 4 отнять 7 нельзя. Займем один десяток и раздробим его на 10 единиц. Всего стало 14 единиц. От 14 отнять 7, получится 7. Вычитаем десятки. От 5 отнять 6 нельзя. Займем одну сотню и раздробим ее на 10 десятков. Всего стало 15 десятков. От 15 отнять 6, получим 9. От 4 сотен отнять 2 сотни, получим 2 сотни. Ответ 297.

Еще один случай вычитания, когда недостающие в уменьшаемом единицы нельзя занять из соседнего разряда: 307-189

Также ученикам предлагается выполнять проверку вычисленного результата с помощью обратного действия.

Вычисляются значения выражений, содержащих несколько действий сложения и вычитания: 123+256+587

Предлагаются различные задания:

«Найти ошибку в вычислениях»

«Вставь пропущенные цифры»

Рассматриваются упражнения на сложение и вычитание в столбик составных именованных чисел: 2р.36к.+3р.57к.

Операции над именованными числами выполняются после перевода обоих компонентов в более мелкие единицы.

Методика изучения нумерации многозначных чисел.

Изучая материал концентров «Десяток», «Сотня», «Тысяча», учащиеся ознакомились с цифрами десятичной системы счисления, разрядами единиц, десятков, сотен. В дальнейшем они познакомятся с понятием классов чисел. Многозначные числа – имеющие более трех чисел.

Класс единиц, класс тысяч, класс миллионов: разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен.

При изучении нумерации многозначных чисел можно выделить два этапа. Сначала учащиеся учатся называть и записывать многозначные числа, не имеющие единиц в разрядах класса единиц, т.е.числа, оканчивающиеся тремя нулями.

Первые числа класса тысяч образуются в результате счета тысячами: одна тысяча, две тысячи. При получении 10 тысяч, согласно правилу работы с абаком, 10 косточек на спице заменяются одной косточкой на спице более старшего разряда – десятков тысяч. Далее счет продолжается десятками. Когда их оказывается 10, они заменяются одной косточкой, которая нанизывается на спицу более старшего разряда – сотен тысяч. Счет продолжается сотнями тысяч. Когда насчитывается 10 косточек, все они заменяются одной косточкой на следующей спице – миллионом.

На спицы единиц, десятков и сотен тысяч абака нанизаны соответственно 5,3 и 7 косточек. Спрашивается, какое число изображено на абаке. Учащиеся рассуждают: в этом числе 7 сотен тысяч, 3 десятка тысяч и 5 тысяч. Учитель объявляет, что такое число называется семьсот тридцать пять тысяч.

В процессе такой работы ученики должны увидеть сходство в образовании названий чисел первого и второго класса: для единиц тысяч не существует специальных названий, они называются также, как единицы первого класса, но с прибавлением слова «тысяча».

Одновременно с изучением нумерации можно рассмотреть приемы устного сложения и вычитания многозначных чисел.

600000-400000, 342000-42000

С нумерацией остальных многозначных чисел учащиеся знакомятся в процессе прибавления к многозначным числам, оканчивающимся тремя нулями, чисел первого класса.

На абаке откладывается многозначное число:315000. А на спицы разрядов первого класса нанизываются косточки: 876. Учитель спрашивает как записать число, получившееся в результате сложения 315000 и 876. Учащиеся учатся называть подобные числа: сначала называется число единиц второго класса, а затем первого класса.

В связи с введением понятия класс в систему упражнений по отработке навыков устной и письменной нумерации целесообразно включать упражнения, требующие использования этого понятия.

«Запишите число в котором 200 единиц первого класса и 60 единиц второго класса.»

«Назови, к какому классу и разряду относится каждая цифра числа 356789». Учащиеся учатся сравнивать многозначные числа. (То число больше, у которого больше единиц второго класса, если их число одинаково, то сравнивается число единиц первого класса).

Дополнительные вопросы:

3 единицы в разряде единиц (3 единицы первого разряда) Цифра 3 обозначает количество единиц

0 единиц в разряде десятков

1 единица в разряде сотен

103 единицы в классе единиц

70 единиц в классе тысяч

Родители современных детей с завистью наблюдают за вундеркиндами – участниками телевизионных шоу «Лучше всех» и «Удивительные люди» – и переживают, что их чада не отличаются выдающимся умом и супер-сообразительностью: плохо усваивают программу начальной школы, не любят напрягать мозг и боятся уроков математики.

С первого класса они считают на пальцах и палочках, не знают приемов устного счета, поэтому испытывают большие проблемы по всем предметам школьного курса.

Приемы быстрого устного счета просты и легко усваиваемы, но нужно помнить, что успешное овладение ими предполагает не механическое, а вполне осознанное использование приемов и, помимо этого, более или менее длительную тренировку.

Усвоив элементарные приемы устного счета, пользующиеся ими смогут правильно и быстро выполнять мгновенные расчеты в уме с такой же безошибочностью, как и при письменных вычислениях.

Особенности

Существует очень много методик, способствующих обучению быстрому счету в уме. При всем видимом отличии у них есть важное сходство - они зиждутся на трех «китах»:

• Тренировки и накопление опыта. Регулярная практика, решение заданий от простого к сложному качественно и количественно меняют навык устных вычислений.
• Алгоритм. Знание и применение «секретных» приемов и законов значительно упрощает процесс счета.
• Способности и природная одаренность. Развитая краткосрочная память и ее немалый объем, а также высокая концентрация внимания - большое подспорье в занятиях быстрым счетом в уме. Несомненный плюс - наличие математического склада ума и предрасположенности к логическому мышлению.

Польза устного счета

Люди - не железные роботы, но тот факт, что они создают умные машины, говорит об их интеллектуальном превосходстве. Человеку нужно постоянно держать в тонусе свой мозг, чему активно способствует тренировка навыка счета в уме.

Для повседневной жизни:

• успешный устный счет - показатель аналитического склада ума;
• регулярный счет в уме убережет вас от раннего слабоумия и старческого маразма;
• ваше умение хорошо складывать и вычитать не позволит вас обмануть в магазине.

Для успешной учебы:

• активизируется мыслительная деятельность;
• развиваются память , речь, внимание, способность воспринимать сказанное на слух, быстрота реакции, сообразительность, умение отыскивать наиболее рациональные пути для решения поставленной задачи;
• укрепляется уверенность в своих возможностях.

Когда следует начинать обучение?

Как утверждают ученые умы (психологи и педагоги), ребенок к 4-м годам уже способен складывать и вычитать. А к 5-ти годам кроха может свободно решать примеры и простые задачи. Но это статистика, а дети не всегда под нее подстраиваются. Поэтому все здесь сугубо индивидуально.

Правила

Царица наук – математика – позаботилась о школьниках и составила свод законов, алгоритмов и правил, усвоив которые и умело ими пользуясь, дети полюбят математику и умственный труд:

• Переместительное свойство сложения: меняя местами компоненты действия, получаем тот же результат.
• Сочетательное свойство сложения: при складывании трех и более чисел любые два (или больше) числовые значения можно заменить их суммой.
• Сложение и вычитание с переходом через десяток: дополнить больший компонент
• До круглых десятков, а потом прибавить остаток от другого компонента.

• Вычитаем вначале отдельные единицы из числа до знака действия, а далее из круглых десятков вычитаем остаток вычитаемого.
• Представив уменьшаемое в виде суммы десятков и единиц, уберем из десятков большего меньшее и прибавим к ответу единицы уменьшаемого.
• При складывании и вычитании круглых десятков (их еще величают «круглые» числа) десятки можно считать так же, как единицы.
• Сложение и вычитание десятков и единиц. Десятки удобнее прибавлять к десяткам, а единицы - к единицам.

Прибавление числа к сумме

Способы следующие:

• Вычисляем ее значение, а затем прибавляем к ней данную величину.
• Прибавляем его к первому слагаемому, а затем к результату прибавляем второе слагаемое.
• Число прибавляем ко второму слагаемому, а затем к ответу прибавляем первое слагаемое.

Прибавление суммы к числу

Способы следующие:

• Вычислим ее показание, а затем прибавим к числу.
• К числу прибавим первое слагаемое, а затем к результату прибавим второе слагаемое.
• К числу прибавим второе слагаемое, а затем к результату прибавим первое слагаемое.

Сложение двух сумм. Складывая две суммы, выбираем наиболее удобный способ вычисления.

Использование главных свойств умножения

Методики таковы:

• Переместительное свойство умножения. Если поменять сомножители местами, их произведение не изменится.
• Сочетательное свойство умножения. При перемножении трех и более чисел любые два (и больше) числа можно заменить их произведением.
• Распределительное свойство умножения. Чтобы умножить сумму на число, надо умножить каждое ее составляющее на это число и полученные произведения сложить.

Умножение и деление чисел на 10 и 100

• Чтобы увеличить любое число в 10 раз, надо приписать к нему справа один ноль.
• Чтобы это же сделать в 100 раз - надо приписать к нему справа два ноля.
• Чтобы уменьшить число в 10 раз, надо отбросить справа один ноль, а чтобы разделить на 100 - два ноля.

Умножение суммы на число

• 1-й способ. Посчитаем сумму и умножим ее на данную величину.
• 2-й способ. Перемножим число с каждым из слагаемых, и полученные ответы сложим.

Умножение числа на сумму

• 1-й способ. Найдем сумму и умножим число на то, что получим.
• 2-й способ. Умножим число на каждое из слагаемых, и полученные произведения сложим.

Деление суммы на число

• 1-й способ. Вычислим сумму и разделим ее на число.
• 2-й способ. Каждое из слагаемых разделим на число и полученные частные сложим.

Деление числа на произведение

Варианты:

• 1-й способ. Разделим число на первый множитель, а затем полученный результат разделим на второй множитель.
• 2-й способ. Разделим число на второй множитель, а затем полученный результат разделим на первый множитель.

Виды

На уроках на устный счет отводится мизерное время, но это не умаляет его значения для развития мыслительной деятельности ребят. Навыки устных вычислений формируются на уроках математики в начальной школе при выполнении разнообразных видов заданий и упражнений.

Найти значение математического выражения

Сравнить математические выражения

Подобные задания отличаются вариативностью:

• определить равенство либо неравенство двух данных выражений (предварительно найдя и сравнив их значения);
• к заданным знаку отношению и одному из выражений составить второе выражение или дополнить незаконченное предложенное;
• в таких упражнениях в выражениях могут использоваться однозначные, двузначные, трехзначные числа и величины и все четыре арифметических действия. Главное назначение подобных заданий - прочное усвоение теоретического материала и отработка вычислительных навыков.

• Решить уравнения. Они помогают усвоить связи между компонентами и результатами арифметических действий.
• Решить задачу. Это могут быть и простые и составные задачи. С их помощью укрепляются теоретические знания, вырабатываются вычислительные умения и навыки, активизируется мыслительная деятельность детей.

Приемы устного счета

Признаки делимости чисел:

• на 2: все, что превышают его, и в числовом ряду идут через одно;
• на 3 и 9: если сумма цифр кратна этим показателям без остатка;
• на 4: если две последние цифры в записи последовательно образуют число, которое подвергается делению на 4;
• на 5: круглые десятки и те, где на конце стоит 5;
• на 6: делятся числа, которые кратны двойке и тройке;
• на 10: числовые значения, в записи которых на конце стоит 0;
• на 12: делятся числа, которые можно разделить на тройку и четверку одновременно;
• на 15: числа, которые делятся одновременно на целые однозначные составляющие это число множители.

Формы счета в начальной школе

Хорошо известно, что основным видом деятельности дошкольников и младших школьников является игра, которую полезно включать во все этапы урока. Некоторые формы проведения устного счета приведем ниже.

Игра «Молчанка»

Содействует воспитанию внимания и дисциплины. Молчанка может состоять из примеров в одно действие, два и больше. В нее играют во всех классах начальной школы как с отвлеченными целыми числами, так и с именованными числами.

Учащиеся считают в уме и молча по вызову учителя пишут на доске ответы на предложенные им примеры. Правильные ответы встречаются легкими хлопками, а неправильные - молчанием.

Игра «Лото»

Может быть несколько видов, соответствующих тем разделам математики, которые изучены и нуждаются в закреплении. Например, лото с примерами на умножение и деление в пределах «сотни».

Для придания большего интереса игре покрышки с ответами могут быть сделаны из разрезанной картинки. Если все примеры решены правильно, из покрышек получается картинка.

Игра «Арифметические лабиринты»

Они имеют вид концентрических кругов с воротами, у которых стоят числа. Чтобы добраться до центра, нужно набрать стоящее в центре число. Лабиринты для решения могут требовать или одного действия (сложения), или нескольких. Нужно учесть, что эти задачи имеют несколько решений.

Игра «Догони летчика» (разновидность «Лесенки»)

На доске рисунок: самолет с петлями, в которых примеры. Два вызванных ученика записывают ответы слева и справа от петель. Кто правильно и быстрее решит, тот и догонит пилота.

Игра «Круговые примеры»

Дидактический материал представляет собой набор карточек, разложенных по конвертам; в каждом из них имеется 8 карточек, на каждой из которых написан один пример.

Числовые примеры в каждом конверте по своему содержанию различны и подбираются по принципу самоконтроля: при их решении результат одного примера будет началом следующего.

Круговые примеры могут предлагаться в виде лесенок.

Методы и техники развития

Рассматривая способы научить детей 6 лет быстрому счету в уме, невозможно не отметить уникальность и простоту японской методики счета «Соробан». Методика «Соробан» позволяет обучать деток в возрасте от 4 до 11 лет, развивая их умственные способности и расширяя круг интеллектуальных возможностей малышей. Любого школьника легко научить считать примеры по математике в уме, применяя японскую методику счета на соробане. Практикуя ментальный устный счет, мы включаем в работу весь мозг , тем самым разгружая левое полушарие, которое отвечает за решение математических задач.

Ментальная арифметика позволяет заинтересовать даже «образное» полушарие вычислительными операциями, что повышает эффективность работы мозга.

Большие числа требуют письменных приемов вычислений, хотя есть индивиды, которые оттачивают свое мастерство в работе и с ними.

Считать примеры по математике в уме - жизненная необходимость, так как экзамены в школе проходят сейчас без применения калькуляторов, и умение считать в уме входит в список обязательных навыков выпускников 9 и 11 классов.

Основное правило для сложения в уме:

Особенности вычитания: приведение к круглым числам

Однозначные вычитаемые округляем до 10, двузначные - до 100. Вычитаем 10 или 100 и прибавляем поправку. Прием актуален для небольших поправок.

Вычитаем в уме трехзначные числа

Опираясь на хорошее знание состава чисел 1-го десятка, можно вычитать по частям в таком порядке: сотни, десятки, единицы.

Умножать и делить можно без проблем, зная таблицу умножения - «палочку-выручалочку» к быстрому освоению счета в уме. Примечательно, что деревенские дети дореволюционной России знали продолжение так называемой таблицы Пифагора - с 11 до 19, и современным школярам неплохо бы знать на память таблицу до 19*9.

Чтобы увлечь детей математикой и сделать трудные моменты в школьной программе ближе и доступнее, существуют способы и методические приемы, превращающие сложности в забавное и интересное:

• Чтобы умножить любое однозначное число на 9, покажем всем свои пустые ладони. Загнем палец, соответствующий по порядку (считая от большого пальца левой руки) числу первого сомножителя. Смотрим, сколько пальцев слева от загнутого - это будут десятки искомого произведения, а справа - его же единицы.
• Умножение на 11 любого двузначного числа, сумма цифр которого не достигает 10, осуществляется забавно и просто: мысленно раздвинем цифры этого числа и поставим между ними их сумму - ответ готов.
• В случае, если сумма цифр умножаемого на 11 числа окажется равна 10-ти или более 10-ти, то между мысленно раздвинутыми цифрами этого числа следует поставить их сумму и сложить первые две цифры слева, оставив две другие без изменения, – получили произведение.

Вопрос 5. Устные приёмы сложения и вычитания в пределах 100. Сочетательное свойство сложения.

1. Устные вычислительные приемы сложения и вычитания двузначных чисел.

На подготовительном этапе повторяются приемы сложения и вычитания в пределах 10, таблица сложения и вычитания в пределах 10, вычислительные приемы вида 40+5, 45-5, 45-40, основанные на знании нумерации.

Приемы устного сложения также основываются на знании сочетательного (ассоциативного) закона сложения (см. табл.).

Для сложения справедлив ассоциативный закон (а+в)+с=а+(в+с), являющийся следствием ассоциативности объединения конкретных множеств, попарное пересечение которых является пустым множеством.

В начальной школе закон раскрывается с помощью правил прибавления числа к сумме и суммы к числу.

Сочетательное свойство они могут попытаться вывести самостоятельно. Учитель должен убедить учащихся, что для вычисления выражений (а+в)+с и а+(в+с) действия можно производить в любом порядке, то есть значения выражений не зависят от порядка выполнения действий. Усвоение этих правил не вызывает сложности, если их математическое содержание будет раскрыто с опорой на интуитивные представления детей.

Для изучения правила прибавления числа к сумме (а+в)+с предлагается серия задач, имеющих разный сюжет, но одинаковое математическое содержание.

«Мальчик нашел 2 белых гриба, 3 подосиновика, 4 подберезовика. Сколько всего грибов нашел мальчик?».

Работа над этими задачами ведется по следующему плану:

условие задачи конкретизируется, на наборном полотне – иллюстрация с помощью геометрических фигур, которая постепенно дополняется и выполняется запись (2+3)+4.

затем составляется другой вариант этой же задачи, заполняется полотно, составляется математическая запись (3+4)+2.

аналогично (4+2)+3.

делается вывод: задачу можно решить тремя разными способами, результат не изменяется.

Результат можно не вычислять.

Таким образом, смысл закона раскрывается:

на рисунке;

на числах;

в буквенной форме.

Затем предлагается составить задачу по числовому выражению вида:

И перефразировать ее условие, чтобы она решалась с помощью выражений:

(а+с)+в и (в+с)+а

Формируется правило прибавления числа к сумме:

1. Прибавить число к сумме можно, складывая числа в любом порядке. Запоминание более детальной формулировки («чтобы прибавить число к сумме можно сначала…») нецелесообразно, так как способствует формальному усвоению сути правила. Важнее научить обращаться к задачам, если правило забыто.

Аналогично вводится правило прибавления суммы к числу.

Также для доказательства учащиеся могут исследовать эти выражения на графических моделях. Рассмотрим 2 выражения. Изменение порядка действий может изменить результат, следовательно, надо сопоставить выражения и выяснить, равны ли они.

Учитель сообщает, что полученное свойство называется сочетательным и предлагает выразить его смысл словами. Сочетательное свойство можно сформулировать по-разному:

чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.

чтобы к числу прибавить сумму двух чисел, можно сначала прибавить к нему первое слагаемое, затем второе.

значение суммы не зависит от выбора действий.

II. Этап ознакомления.

Прием вида: 20+30

Абак заполняется сначала двумя полосками по одному десятку кружков, затем еще тремя полосками. Всего в абаке 2+3 полоски или 5 десятков.

Таким образом, прием сложения круглых десятков сводится к сложению однозначных чисел, то есть 2 десятка + 3 десятка = 5 десятков.

Прием вычитания вида: 60-40 вводится аналогично.

Теоретическая основа – конкретный смысл действий сложения и вычитания.

Затем вводятся приемы сложения, основанные на знании свойств прибавления числа к сумме и прибавления суммы к числу:

22+5 (20+2)+5 теоретическая основа - прибавление числа к сумме.

45+30 (40+5)+30=40+(5+30)

20+13 теоретическая основа - прибавление суммы к числу

20+35=20+(30+5)=(20+30)+5

22+35=22+(30+5)=(22+30)+5=52+5=57

25+36=25+(30+6)=(25+30)+6=55+6=61

Случаи вида 28+5 имеет два способа нахождения результата.

28+5=(20+8)+5=20+(8+5)=33 теоретическая основа - прибавление числа к сумме.

Алгоритм рассуждения: заменяю, получаю пример, здесь удобнее.

28+5=28+(2+3)=(28+2)+3=33 теоретическая основа-

2 3 прибавление суммы к ислу.

Изучая приемы устного сложения двузначных чисел, учащиеся должны прийти к выводу, что сложить два двузначных числа легче, если к десяткам первого прибавить десятки второго, единицы обоих слагаемых сложить и прибавить к сумме десятков.

В приемах вычитания используются свойства.

Вычитания числа из суммы: 45-3, 40-5, 45-30

Вычитание суммы из числа: 45-9, 45-23, 45-28.

Они изучаются по тому же плану, что и свойства сложения. Различные способы вычитания основываются на соответствующих вопросах из теоретического курса математики.

45-3=(40+5)-3=40+(5-3)=40+2=42 (число 3 вычитается из числа единиц уменьшаемого);

теоретическая основа - вычитание числа из суммы

45-9=45-(5+4)=(45-5)-4=40-4=36

теоретическая основа - вычитание суммы из числа

45-23=45-(20+3)=(45-20)-3=25-3=22

теоретическая основа – вычитание суммы из числа.

Все эти операции при необходимости можно выполнить на демонстрационном абаке, учащиеся на индивидуальном абаке. Математическое выражение записывается на доске и в тетрадях.

При изучении приемов устного сложения и вычитания чисел прослеживаются разные подходы.

I Подход.

По традиционной программе основным способом введения вычислительного приема является показ образца действия, который в некоторых случаях разъясняется на предметном уровне, а затем закрепляется в процессе выполнения тренировочных упражнений.

Процесс формирования вычислительных умений сориентирован на усвоение способа действия для частных случаев сложения и вычитания чисел.

Изучения любого свойства ведется по одному плану:

раскрытие сути свойства (с использованием наглядных пособий);

применение свойства при выполнении заданий;

выделение рациональных приемов вычислений (на основе свойств).

Таким образом, первый подход связан с изучением свойств арифметических действий.

II Подход связан с изучением сочетательного закона сложения с выходом на обобщение: при сложении чисел удобно единицы складывать с единицами, десятки с десятками. Этот вывод переносят на приемы вычитания.

III Подход.

Процесс формирования вычислительных умений ориентирован на усвоение общего способа действий, в основе которого лежит осознание детьми записи чисел в десятичной системе счисления (разрядный состав числа) и смысла действий сложения и вычитания.

Основным способом введения нового вычислительного приема является не показ образца действий, а выполнение действий с моделями десятков и единиц и соотнесение этих действий с математической записью.

В процессе такой деятельности учащиеся наблюдают изменение цифр, обозначающих в записи числа десятки (единицы), при увеличении (уменьшении) числа на несколько десятков (единиц).

Наблюдение за изменением в записи чисел сопровождается активным истолкованием приемов анализа и сравнения, классификации, обобщения.

Проблема в том, как организовать продуктивную деятельность учащихся по усвоению приема.

Н.Я. Виленкин, Л.Г. Петерсон разработали технологию обучения практически целесообразную и отражающую основные теоретические результаты психолого-педагогических исследований. В своей программе и учебниках по математике для начальной школы они предлагают следующий подход к введению вычислительных приемов.

Приемы вводятся проблемным методом, когда учитель не сам объясняет весь материал, а подводит детей к «открытию» новых знаний. Принципиально важно, чтобы дети сами выводили новые правила действий с числами с помощью анализа и обобщения собственных предметных действий с моделями этих чисел.

В качестве моделей используются зеленые треугольники с десятью красными кружками: красный кружок обозначает единицы, зеленый треугольник обозначает десятки, десять красных кружков на зеленом треугольнике обозначают сотни.

Структура урока введения приёма:

Постановка учебной задачи.

Учащиеся выполняют самостоятельную работу, в которой среди известных случаев сложения и вычитания они сталкиваются с неизвестным для них случаем. Возникает проблемная ситуация, мотивирующая изучение нового материала.

Построение предметных моделей.

Для разрешения проблемной ситуации пример, вызвавший затруднение, моделируется и обсуждается фронтально. В результате этого обсуждения учащиеся «изобретают» новый способ действия (используются треугольники, пучки палочек).

Построение графических моделей.

Новый способ действия учащиеся используют для построения графических моделей нового типа. При этом полученный вывод вновь проговаривается.

Знаковое моделирование.

Пример записывается в более компактной форме, с помощью цифр и знаков арифметических действий (запись в виде числового выражения). Теперь учащиеся применяют новый вычислительный прием без опоры на наглядную модель. Если письменный прием, то учитель знакомит детей с более удобной формой записи примеров нового типа в столбик.

Самоконтроль и самооценка.

Учащиеся самостоятельно решают пример на новый вычислительный прием и убеждаются, что новый способ действия ими освоен. Проблемная ситуация разрешена. Затем новый вычислительный прием используется для решения текстовых задач. Решение выполняется с комментированием без графических моделей, без абака.