Геометрическая фигура снежинка Коха выглядит так
Рисуют снежинку Коха так
А есть еще и пирамида Коха
Более подробно можно узнать по какой схеме рисуется снежинка Коха из нижеприведенного видео. Кто-то может и поймет, я пас.
Для начала рассмотрим эту снежинку Коха. Лучше всего нам покажет схема, приведенная внизу.
То есть для рисования данной снежинки нужно воспользоваться отдельными геометрическими фигурами, из которых и состоит этот геометрический фрактал.
Основой нашего рисунка является равносторонний треугольник. Каждая сторона разделяется на три отрезка, от которых строятся следующие, поменьше, равносторонние треугольники. С полученными треугольниками проводится та же операция и так несколько раз.
Снежинка Коха - то фигура одна из первых исследованных учеными фракталов. Снежинка получается из трех копий кривой Коха, информация об этом открытии появилась в 1904 году в статье шведского математика Хельге фон Коха. По сути, кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную линию ни в одной точке. Кривая Коха простая в своей конструкции.
Пример, фото-рисунка картинки снежинки Коха с поэтапным черчением.
На этой схеме можно подробно рассмотреть линии, с которых потом получится снежинка Коха.
А это уже интерпретация новой снежинки на основе снежинки Коха.
Прежде чем понять как рисовать снежинку Коха , надо определить что это вообще такое.
Так вот, снежинкой Коха называют геометрическое изображение - фрактал.
Полное определение понятия снежинка Коха дано на картинке ниже.
Фрактальная снежинка - один из самых известных и загадочных геометрических объектов - описана Хельгой фон Кох еще в начале нашего века. По традиции ее называют у нас в литературе снежинкой Коха. Это очень "колючая" геометрическая фигура, которую метафорически можно рассматривать как результат многократного "умножения" звезды Давида на саму себя. Шесть ее основных лучей покрыты бесконечным количеством больших и малых вершин-"иголочек". Всякий микроскопический фрагмент контура снежинки как две капли воды похож на весь большой луч, а большой луч в свою очередь содержит в себе бесконечное количество таких же микроскопических фрагментов.
На международном симпозиуме по методологии математического моделирования в Варне еще в 1994 году мне на глаза попалась работа болгарских авторов, которые описывали свой опыт использования снежинки Коха и других подобных объектов на уроках в старших классах для иллюстрации проблемы делимости пространства и философских апорий Зенона. Помимо этого, с образовательной точки зрения весьма интересен, на мой взгляд, сам принцип построения регулярных фрактальных геометрических структур - принцип рекурсивного умножения базового элемента. Природа недаром "любит" фрактальные формы. Это объясняется именно тем, что они получаются путем простого размножения и изменения размеров некого одного элементарного строительного блока. Как известно, природа не излишествует разнообразием причин и, где возможно, обходится наиболее простыми алгоритмическими решениями. Присмотритесь внимательно к контурам листьев, и во многих случаях вы обнаружите явное их родство с формой контура снежинки Коха.
Визуализация фрактальных геометрических структур возможна лишь при помощи компьютера. Построить снежинку Коха выше третьего порядка вручную уже очень сложно, а заглянуть в бесконечность так хочется! Поэтому, почему бы ни попытаться разработать соответствующую компьютерную программу. В РуНете можно отыскать рекомендации строить снежинку Коха из треугольников. Результат работы этого алгоритма выглядит как нагромождение пересекающихся линий. Интереснее скомбинировать эту фигуру из "кусочков". Контур снежинки Коха состоит из отрезков одинаковой длины, наклоненных под углом 0°, 60° и 120° по отношению к горизонтальной оси x. Если обозначить их соответственно 1, 2 и 3, то снежинка любого порядка будет состоять из следующих друг за другом троек - 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3… и т. д. Каждый из этих трех типов отрезков может прикрепляться к предыдущему одним либо другим концом. С учетом этого обстоятельства можно считать, что контур снежинки состоит из отрезков шести типов. Обозначим их 0, 1, 2, 3, 4, 5. Таким образом, мы получаем возможность кодировать контур любого порядка при помощи 6 цифр (см. рисунок).
Снежинка более высокого порядка получается из предшественницы более низкого порядка путем замены каждого ребра на четыре, соединенных подобно сложенным ладошкам (_/\_). Ребро типа 0 заменяется на четыре ребра 0, 5, 1, 0 и так далее в соответствии с таблицей:
| 0 | 0 1 5 0 |
| 1 | 1 2 0 1 |
| 2 | 2 3 1 2 |
| 3 | 3 4 2 3 |
| 4 | 4 5 3 4 |
| 5 | 5 0 4 5 |
Простой равносторонний треугольник можно рассматривать как снежинку Коха нулевого порядка. В описанной системе кодировки ему соответствует запись 0, 4, 2. Все остальное можно получить путем описанных замен. Я не буду приводить здесь код процедуры и тем самым лишать вас удовольствия разработать свою программу самостоятельно. При ее написании вовсе необязательно использовать явный рекурсивный вызов. Его можно заменить обычным циклом. В процессе работы у вас будет лишний повод поразмыслить о рекурсии и ее роли в образовании квазифрактальных форм окружающего нас мира, а в конце пути (если, конечно, не поленитесь пройти его до конца) вы сможете полюбоваться сложным узором контуров фрактальной снежинки, а также заглянуть, наконец, в лицо бесконечности.
At Снежинка Коха,Треугольник Серпинского и прочие фракталы
Целый месяц я самозабвенно училась плести веревочные узоры, учила всех, чье внимание удавалось зафиксировать на этом странном занятии, рассказывала про индейцев и эскимосов, и пыталась изобрести что-нибудь самостоятельно. Мой увядающий энтузиазм поддерживала Юля, соглашаясь, если не учиться, так хотя бы смотреть, что у меня получается. В конце концов, мне удалось сочинить восьмиконечную звезду, заворожившую меня своей симметрией и элегантностью плетения. Мне захотелось подвести под это маленькое изобретение теоретическую базу, и я принялась рыться в Интернете на предмет «символического значения октограммы». Так от игры в веревочку мы перешли к обсуждению свойств звездчатых многоугольников, а от них к звездчатым многогранникам и Платоновым телам. Слово за слово, и Юля унесла читать сначала «Модели многогранников», а потом и «Математика и искусство». Могу вообразить, какое впечатление должен производить доктор скорой помощи, читающий на дежурстве между вызовами книжку по математике. На следующий день Юля пришла в 9 утра будить меня в моей берлоге и делиться впечатлениями от прочитанного.
Мрачным апрельским утром хочется спать до весны, и только какое-нибудь энергичное внешнее воздействие способно вытряхнуть меня из постели. Юля сделала мне "омолаживающий" массаж, жестоко отодрав все мясо от костей, так что я с воплями вскочила и побежала варить кофе. Пока я химичила с кофейником - кофе, сахар, немного корицы и мускатного ореха - она щебетала про то, что умного сказал Кант, какие оказывается красивые правильные многогранники, про симметрию живого и неживого, а я рассматривала радужные круги, плывущие перед глазами и думала: «Это уже старость или весенний авитаминоз?» Под окном соседка с собакой переплывала огромную лужу - целое озеро кофейной воды с бензиновыми пятнами на поверхности. Бензиновые пятна - цвета побежалости…
«А знаешь, какие красивые фракталы!» - спросила я неожиданно.
«Это еще что за звери?»
« Ну… графики такие… функции комплексной переменной… кажется… Дивной красоты! Пойдем, покажу - у меня в компьютере осталось несколько картинок.»
Честно говоря, фракталами я увлекалась десять лет назад, все что осталось - несколько JPG-файлов, засевшее в памяти слово «Мандельброт» и еще что-то про изрезанную береговую линию. Так что вопрос, каким образом раскрашиваются точки плоскости, поставил меня в тупик. Я еще смогла извлечь из глубин замусоренной памяти формальное определение комплексного числа, но понятия не имела, что это за функция, которая плодит такие фантастические картины. Так что пришлось взять тайм-аут для ознакомления с теорией. Теперь выяснить, что за зверь Мандельброт и с чем его едят, стало делом чести.
Вот что мною добыто и освоено:
http://robots.ural.net/fractals/intro/fractals.htm
Шабаршин А.А. ВВЕДЕНИЕ ВО ФРАКТАЛЫ
На следующий день мы продолжили заседание нашего импровизированного математического кружка в Екатерининском парке. Утопая в апрельских сугробах, пористых как Куб Серпинского, я объясняла построение триадной кривой Коха, а Юля звонила из парка по мобильнику всем знакомым, которых считала компетентными, и просила объяснить, что такое комплексное число. Потом я пыталась объяснить третьекласснице Олесе, что такое числовая прямая на примере очереди за колбасой. Разошлись только когда в ботинках захлюпала вода и дождь просочился за шиворот. Вобщем каждый сходит с ума по-своему.
Называемую снежинкой Коха .
Кривая Коха
Построение
Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.
Свойства
Вариации и обобщения
Возможны обобщения кривой Коха, также использующие при построении подстановку ломаной из четырёх равных отрезков, но имеющей иную геометрию. Они имеют хаусдорфову размерность от 1 до 2. В частности, если вместо деления отрезка 1:1:1 использовать золотое сечение (φ:1:φ), то получившаяся кривая имеет отношение к мозаикам Пенроуза .
Также можно построить «Снежинку Коха» на сторонах равностороннего трегоугольника.
Вслед за подходом Коха были разработаны варианты с прямыми углами (квадратичная), других углов (Чезаро ) или кругов и их расширения на высшие размерности (сферическая снежинка):
Фрактал Cesaro
Квадратичная кривая 1-го типа
Первые 2 итерации
Квадратичная кривая 2-го типа
Первые 2 итерации. Фрактальная размерность 1,5 (точно посередине между размерностью 1 и 2), поэтому часто используется при изучении физических свойств нецелых фрактальных объектов
Поверхность Коха
Расширения кривой Коха на 3D (первые 3 итерации)
Квадратичная поверхность 1-го типа
Квадратичная поверхность (анимация)
Квадратичная поверхность 2-го типа
сферическая снежинка Хэйнса (большой зелёный объект)
Снежинка Коха
Снежинка Коха, построенная в виде замкнутой кривой на базе равностороннего треугольника , впервые была описана шведским математиком Хельге фон Кохом в 1904 году . В некоторых работах она получила название «остров Коха» .
Было доказано, что эта фрактальная кривая обладает рядом любопытных свойств. К примеру, длина её периметра равна бесконечности, что, однако, не мешает ему охватывать конечную площадь , величина которой равна 8/5 площади базового треугольника . Вследствие этого факта некоторые прикладные методики и параметры плоских фигур, такие как, например, краевой индекс (отношение периметра к корню из площади), при работе со снежинкой Коха оказываются неприменимыми .
Возможно также построение так называемой антиснежинки Коха, алгоритм генерирования которой заключается в вырезании на каждом этапе всё новых и новых треугольников из исходного. Иными словами рёбра базовой формы модифицируются внутрь, а не наружу. В результате полученная фигура охватывает бесконечное множество несвязанных областей, суммарная площадь которых равна 2/5 от площади треугольника нулевой итерации .
Примечания
Ссылки
L-системаL-система или система Линденмайера - это параллельная система переписывания и вид формальной грамматики. L-система состоит из алфавита символов, которые могут быть использованы для создания строк, набора порождающих правил, которые задают правила подстановки вместо каждого символа, начальной строки («аксиомы»), с которой начинается построение, и механизма перевода образованной строки в геометрические структуры. L-системы предложил и развивал в 1968 Аристид Линденмайер, венгерский биолог и ботаник из Утрехтского университета. Линденмайер использовал L-системы для описания поведения клеток растений и моделирования процесса развития растения. L-системы использовались также для моделирования морфологии различных организмов и могут быть использованы для генерации самоподобных фракталов, таких как системы итерируемых функций.
Конечное правило подразделенияВ математике конечное правило подразделения - это рекурсивный способ деления многоугольника и других двумерных фигур на всё меньшие и меньшие части. Правила подразделения в этом смысле является обобщением фракталов. Вместо повторения одного и того же узора снова и снова здесь имеются небольшие изменения на каждом шаге, что позволяет получить более богатые структуры, сохраняя при этом поддержку элегантного стиля фракталов. Правила подразделения используются в архитектуре, биологии и информатике, а также при изучении гиперболических многообразий. Подстановки плиток являются хорошо изученным видом правил подразделения.
Кривая ПеаноКрива́я Пеа́но - общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле, открытые области пространства). Другое название - заполняющая пространство кривая.
Названа в честь Джузеппе Пеано (1858-1932), первооткрывателя такого рода кривых, в частном смысле кривой Пеано называется конкретная кривая, которую нашёл Пеано.
Кривая СерпинскогоКривые Серпинского - это рекурсивно определённая последовательность непрерывных замкнутых плоских фрактальных кривых, открытых Вацлавом Серпинским. Кривая в пределе при полностью заполняет единичный квадрат, так что предельная кривая, также называемая кривой Серпинского , является примером заполняющих пространство кривых.
Поскольку кривая Серпинского заполняет пространство, её размерность Хаусдорфа (в пределе при
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
) равна
2
{\displaystyle 2}
.
Евклидова длина кривой
т. е. она растёт экпоненциально по n {\displaystyle n} , а предел при n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } площади области, заключённой кривой S n {\displaystyle S_{n}} , составляет 5 / 12 {\displaystyle 5/12} квадрата (в Евклидовой метрике).
Размерность МинковскогоРазмерность Минковского или грубая размерность ограниченного множества в метрическом пространстве равна
lim ε → 0 ln (N ε) − ln (ε) {\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\varepsilon })}{-\ln(\varepsilon)}}} ,где - минимальное число множеств диаметра , которыми можно покрыть наше множество. Если предел не существует, то можно рассматривать верхний и нижний предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского.
Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа. Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.
Теория хаосаТео́рия ха́оса - математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос (динамический хаос, детерминированный хаос). Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной. Для акцентирования особого характера изучаемого в рамках этой теории явления обычно принято использовать название теория динамического хаоса.
Примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентные потоки, некоторые виды аритмий сердца, биологические популяции, общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические, психологические (культурно-исторические и интер-культуральные) и другие социальные системы. Их изучение, наряду с аналитическим исследованием имеющихся рекуррентных соотношений, обычно сопровождается математическим моделированием.
Теория хаоса - область исследований, связывающая математику и физику.
ФракталФракта́л (лат. fractus - дроблёный, сломанный, разбитый) - множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.
Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры.
Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:
Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.
Является самоподобным или приближённо самоподобным.
Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения, альвеолы.
Фрактальная размерностьФракта́льная разме́рность (англ. fractal dimension ) - один из способов определения размерности множества в метрическом пространстве. Фрактальную размерность n -мерного множества можно определить с помощью формулы:
D = − lim ε → 0 ln (N ε) ln (ε) {\displaystyle D=-\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\varepsilon })}{\ln(\varepsilon)}}} , где N ε {\displaystyle N_{\varepsilon }} - минимальное число n -мерных «шаров» радиуса ε {\displaystyle \varepsilon } , необходимых для покрытия множества.Фрактальная размерность может принимать не целое числовое значение.
Основная идея «дробной» (англ. fractured ) размерности имеет долгую историю в области математики, но именно сам термин введён в оборот Бенуа Мандельбротом в 1967 году в его статье о самоподобии, в которой он описал «дробную» (англ. fractional ) размерность. В этой статье Мандельброт ссылался на предыдущую работу Льюиса Фрайя Ричардсона, описывающую противоречащую здравому смыслу идею о том, что измеренная длина береговой линии зависит от длины мерной палки (шеста) (см. Рис. 1). Следуя этому представлению, фрактальная размерность береговой линии соответствует отношению числа шестов (в определенном масштабе), нужных для измерения длины береговой линии, к выбранному масштабу шеста. Есть несколько формальных математических определений [⇨] фрактальной размерности, которые строятся на этой базовой концепции, об изменении в элементе с изменением в масштабе.
Одним из элементарных примеров является фрактальная размерность снежинки Коха. Её топологическая размерность равна 1, но это ни в коем случае не спрямляемая кривая, поскольку длина кривой между любыми двумя точками снежинки Коха - бесконечность. Никакая сколько угодно малая часть кривой не является отрезком прямой. Скорее, снежинка Коха состоит из бесконечного числа сегментов, соединённых под разными углами. Фрактальную размерность кривой можно объяснить интуитивно, предполагая, что фрактальная линия - это объект слишком детальный (подробный), чтобы быть одномерным, но недостаточно сложный, чтобы быть двумерным. Поэтому её размерность лучше описывать не обычной топологической размерностью 1, но её фрактальной размерностью, равной в этом случае числу, лежащему в интервале между 1 и 2.
| Характеристики |
|
|
|---|---|---|
| Простейшие фракталы | ||
| Странный аттрактор | ||
| L-система | ||
| Бифуркационные фракталы | ||
| Случайные фракталы | ||
| Люди | ||
| Связанные темы | ||
| Определения | |
|---|---|
| Преобразованные | |
| Неплоские | |